1. Identifique os extremos locais de cada função nos intervalos dados e informe onde eles ocorrem
  2. Esboce os gráficos da função e de sua derivada. Comente o comportamento de f em relação aos sinais e valores de f'

f(x) = raiz(3) * cos(x + sen(x)) 0 ≤ x ≤ 2 * pi

Passo 1

a)

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de f   para encontrar os pontos críticos:

f ' x = - 3 sin ⁡ x + cos ⁡ x

Igualamos a zero

- 3 sin ⁡ x + cos ⁡ x = 0

Dividindo ambos os lados por cos ⁡ x temos:

- 3  sin  ⁡ x cos ⁡ x   +   cos ⁡ x cos ⁡ x = 0

- 3 tan ⁡ x + 1 = 0

tan ⁡ x =   1 3 = 3 3

x =   π 6 ou 7 π 6

Passo 2

Agora, vamos verificar os valores encontrados como pontos críticos, vara verificar os pontos de máximo e mínimo da função:

Logo,

f 0 = 3 :

f π 6 = 2

f 7 π 6 = - 2

f 2 π = 3

Bom, então os valores de máximo locais são: 2 quando x =   π 6 e 3 quando x =   2 π .

Já os valores de mínimo locais são: - 2 , quando x = 7 π 6 e 3   quando x = 0

Passo 3

A questão pede para comentar o comportamento da f e da f ' em seus gráficos. Primeiro observe o gráfico abaixo:

Galera, pelo gráfico acima podemos notar o seguinte: a f   aumenta quando f ' > 0 e tem seus extremos locais onde f ' = 0 . A função tem um mínimo local quando x = 0 e x =   7 π 6 , nesses valores a f ' muda de negativa para positiva.

Ainda é possível perceber que a f   tem um valor máximo em x = 2 π e x = π 6 , nesses pontos a f ' muda de positiva para negativa.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.f(x) = x * e^(-x); [0, 2]
Encontre os números críticos da função.f(x) = x * e^(2x)
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.f(x) = x - 3 * ln(x); [1,4]
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.f(x) = ln(x) / x; [1, 3]
Use um gráfico para estimar os valores de máximo e mínimo absolutos da função com duas casas decimais.Use o cálculo para encontrar os valores de máximo e mínimo exatos.f(x) = x^3 - 8x + 1; -3 ≤ x ≤ 3