Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 59

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.

f x = x e - x                           ;       [ 0,2 ]

Passo 1

Bom diiiiiiiiiia pessoar, tudo certinho?

Bora resolver mais uma comigo?

Simboraááá

Vamos iniciar encontrando a derivada de f ( x )

A função é f x = x e - x

Vamos usar a regra do produto para derivar f x :

f x = x ⋅ e - x  

A regra do produto diz que a derivada de dois produtos u x   e   v x   é

u v ' = u ' v + u v '

Aqui, u x = x   e v x = e - x

Derivamos u x   e   v x :

u ' x = 1

v ' x = d d x e - x = - e - x

Passo 2

Aplicamos a regra do produto:

  f ' x =   u ' x ⋅ v x +   u x ⋅ v ' x

f ' x =   1   ⋅ e - x +   x   ⋅ - e - x

f ' x =   e - x -   x e - x

Fatoramos e - x :

f ' ( x )   =   e - x ( 1   -   x )

Passo 3

Vamos encontrar os pontos críticos

Os pontos críticos ocorrem onde f ' x =   0 ou f ' ( x ) não está definida. Aqui, f ' ( x ) está definida para todos os x , então resolvemos:

e - x 1 - x = 0

Como e - x ≠ 0 para qualquer x , temos:

1 - x = 0

  x   =   1

Passo 4

Vamos avaliar f ( x ) nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo

Precisamos avaliar f x nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo 0,2 Avaliamos f x   e m   (   x   =   0   ) ,   (   x   =   1   ) ,   e   (   x   =   2   ) :

- Em x = 0 ;

f 0 = 0 ⋅ e 0 = 0

- Em x = 1 ;

f 1 = 1 ⋅ e 1 = 1 e

- Em x = 2 ;

f 0 = 2 ⋅ e 2 = 2 e 2

Passo 5

Agora iremos comparar os valores encontrados

Agora comparamos os valores de f ( x ) nos pontos avaliados:

-   f 0 =   0  

-     f 1 = 1 e ≈ 0.367 9

-     f 2 = 2 e 2 ≈ 0.2707  

Portanto, os valores máximos e mínimos absolutos de f x = x e - x no intervalo [ 0,2 ] são:

- Valor máximo absoluto: 1 e   em x = 1 .

- Valor mínimo absoluto: 0 em x = 0 .

Resposta

M á x i m o   a b s o l u t o : 1 e   e m   x = 1

M í n i m o   a b s o l u t o : 0   e m   x = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O princípio de Fermat (Exercício 64) também explica por que um raio de luz que passa entre ar e água se inclina (refração). Imagine dois meios uniformes (como água e ar) e um raio de luz viajando de u
Dados os pontos A 2 ,1 e B 5 ,4 , encontre o ponto P do intervalo 2 ,5 do eixo x que maximize o ângulo A P B .
O Princípio de Fermat (biografia à página 275) na óptica afirma que a luz, viajando de um ponto para outro, segue aquele caminho para o qual o tempo total no percurso é mínimo. Em um meio uniforme, os
Um homem está sentado em um barco a 1k m da margem (reta) de um lago. Uma cidade está localizada nessa margem a 1k m do ponto da margem do lado que está mais próximo do homem. Ele pretende remar em li
Um cartão retangular deve conter 42 centímetros quadrados de área impressa. As margens no topo, na base e de um dos lados do cartão devem medir 1c m e a margem do outro lado deve medir 2c m . Quais de