Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.

f(x) = x * e^(-x); [0, 2]

Passo 1

Bom diiiiiiiiiia pessoar, tudo certinho?

Bora resolver mais uma comigo?

Simboraááá

Vamos iniciar encontrando a derivada de f ( x )

A função é f x = x e - x

Vamos usar a regra do produto para derivar f x :

f x = x ⋅ e - x  

A regra do produto diz que a derivada de dois produtos u x   e   v x   é

u v ' = u ' v + u v '

Aqui, u x = x   e v x = e - x

Derivamos u x   e   v x :

u ' x = 1

v ' x = d d x e - x = - e - x

Passo 2

Aplicamos a regra do produto:

  f ' x =   u ' x ⋅ v x +   u x ⋅ v ' x

f ' x =   1   ⋅ e - x +   x   ⋅ - e - x

f ' x =   e - x -   x e - x

Fatoramos e - x :

f ' ( x )   =   e - x ( 1   -   x )

Passo 3

Vamos encontrar os pontos críticos

Os pontos críticos ocorrem onde f ' x =   0 ou f ' ( x ) não está definida. Aqui, f ' ( x ) está definida para todos os x , então resolvemos:

e - x 1 - x = 0

Como e - x ≠ 0 para qualquer x , temos:

1 - x = 0

  x   =   1

Passo 4

Vamos avaliar f ( x ) nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo

Precisamos avaliar f x nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo 0,2 Avaliamos f x   e m   (   x   =   0   ) ,   (   x   =   1   ) ,   e   (   x   =   2   ) :

- Em x = 0 ;

f 0 = 0 ⋅ e 0 = 0

- Em x = 1 ;

f 1 = 1 ⋅ e 1 = 1 e

- Em x = 2 ;

f 0 = 2 ⋅ e 2 = 2 e 2

Passo 5

Agora iremos comparar os valores encontrados

Agora comparamos os valores de f ( x ) nos pontos avaliados:

-   f 0 =   0  

-     f 1 = 1 e ≈ 0.367 9

-     f 2 = 2 e 2 ≈ 0.2707  

Portanto, os valores máximos e mínimos absolutos de f x = x e - x no intervalo [ 0,2 ] são:

- Valor máximo absoluto: 1 e   em x = 1 .

- Valor mínimo absoluto: 0 em x = 0 .

Resposta

M á x i m o   a b s o l u t o : 1 e   e m   x = 1

M í n i m o   a b s o l u t o : 0   e m   x = 0

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