a. Identifique os extremos locais de cada função nos intervalos dados e informe onde eles ocorrem.

b. Na mesma tela, esboce os gráficos da função e de sua derivada. Comente o comportamento de f em relação aos sinais e valores de f' .

f(x) = coss²(x) - 2 * cotg(x), 0 < x < pi

Passo 1

Vamos começar identificando os pontos críticos da função através da derivada primeira.

f ' x = 2 c o s s e c   x   - c o s s e c   x   c o t g   x - 2 ( - c o s s e c 2 x )  

f ' x = - 2 c o s s e c 2 x   c o t g   x + 2   c o s s e c 2 x

Passo 2

Para achar os pontos críticos, vamos igualar a derivada a zero.

f ' x = - 2 c o s s e c 2 x   c o t g   x + 2   c o s s e c 2 x = 0

f ' x = 2 c o s s e c 2 x     c o t g   x - 1 = 0  

2 c o s s e c 2 x = 0   o u   c o t g + 1 = 0

2 c o s s e c 2 x = 0 → n ã o   p o d e

c o t g   x =   1 → x = π 4  

Achamos o nosso ponto crítico.

Vamos fazer nossa análise de sinal dentro do nosso intervalo:

Nosso único ponto a ser considerado é x = π 4 → f π 4 = 0 , que é o nosso ponto de mínimo local. Veja que antes do ponto a derivada era negativa e depois é positiva (os pontos x = 0   x = π   não pertencem ao domínio de f)

Passo 3

b) Gráficos:

Vemos que quando f ' < 0 , a função f é decrescente, e quando f ' > 0 a função é crescente, e vemos que a função tem o ponto de mínimo local em x=0.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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