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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 33

(Lei da reflexão de Snellius) considere uma reta r e dois pontos P e Q localizados em dois semiplanos opostos.

Uma particula vai de P para M a uma velocidade constante u e movimento retilíneo, em seguida vai de M para Q com uma velocidade constante v também com movimento retilíneo. Mostre que o tempo de percurso mínimo é

s e n α u = s e n β v

Passo 1

Temos que demostrar a lei de reflexão de Snellius

Passo 2

Primeiro temos que calcular tempo de percurso para os dois casos

Da equação de movimento temos

d=vt

t 1 = d 1 u

t 2 = d 2 v

Portanto o tempo do percurso completo

t = t 1 + t 2 = d 1 u + d 2 v

Passo 3

Agora temos que calcular d 1 e d 2

Escolhendo a e b como constantes dependentes de Alpha e beta

E usando o percurso completo como sendo L

Logo

d 1 = (   x 2   + a 2 )

d 2 = L - x 2 + b 2    

E podemos também expressar em termos de sen Alpha e sem beta

s e n ( α ) = x   x 2 + a 2  

s e n β = L - x L - x 2 + b 2    

Passo 4

Para mininizar basta derivar em relação ao tempo e igualar a zero

t = t 1 + t 2 = (   x 2   + a 2 ) u + L - x 2 + b 2   v

Logo derivando

d t d x = d t 1 d x + d t 2 d x = 1 2 2 x u x 2 + a 2   + 1 2 ( - 1 ) 2 ( L - x ) v ( L - x ) 2 + b 2   = 0

Passo 5

Reorganizando temos

x u x 2 + a 2   = ( L - x ) v ( L - x ) 2 + b 2  

Usando a definição de s e n ( α ) e s e n ( β )

s e n α u = s e n β v

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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