Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.6 - Ex. 4

Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.

r x , θ = x , x cos ⁡ θ , x sen ⁡ θ

Passo 1

Fala, pessoal! Tranquilo?

A questão quer que a gente analise a superfície que tem equação paramétrica

r x , θ = x , x cos ⁡ θ , x sen ⁡ θ

E entenda qual superfície ela está descrevendo. As componentes de uma equação paramétricas dão a parametrização para cada variável. Segundo as componentes de r x , θ , temos:

x = x

y = x cos ⁡ θ

z =   x sen ⁡ θ

Vamos ver o que isso significa para cada variável.

Passo 2

As equações paramétricas correspondem a:

x = x

y = x cos ⁡ θ

z =   x sen ⁡ θ

Como   x = x , nosso x é constante e nunca muda, o que nos traz a informação que nossa superfície vai estar centrada no eixo x . Então nossa superfície vai ser dada pela revolução das outras variáveis em torno de x .

Vamos tentar eliminar a variável θ e analisar somente em termos de x e y , assim a gente consegue imaginar melhor nossa superfície.

Somando y e z e elevando nossa equação ao quadrado:

y 2 + z 2 = x 2 cos 2 ⁡ θ + x 2 sen 2 ⁡ θ

Isolando x 2 :

y 2 + z 2 = x 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

Usando a identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

Ficamos com:

y 2 + z 2 = x 2

Com x = x e nenhuma restrição sobre os parâmetros, a superfície é x 2 = y 2 + z 2 , que é um cone circular cujo eixo é o eixo x .

Resposta

A superfície é x 2 = y 2 + z 2 , que é um cone circular cujo eixo é o eixo x .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine uma representação paramétrica para a superfície.A parte do paraboloide elíptico x + y 2 + 2 z 2 = 4 que está em frente do plano x = 0
Determine uma representação paramétrica para a superfície.A parte do hiperboloide x 2 + y 2 - z 2 = 1 que está à direita do plano x z .
Determine uma representação paramétrica para a superfície.A parte do cilindro y 2 + z 2 = 16 que está entre os planos x = 0 e x = 5
Determine uma representação paramétrica para a superfície.A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 que está entre os planos z = - 2 e z = 2
Determine as equações paramétricas da superfície obtida pela rotação da curva x = 4 y 2 - y 4 , - 2 ≤ y ≤ 2 em torno do eixo y e use-as para traçar o gráfico da superfície.