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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.6 - Ex. 4

Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.

r x , θ = x , x cos ⁡ θ , x sen ⁡ θ

Passo 1

Fala, pessoal! Tranquilo?

A questão quer que a gente analise a superfície que tem equação paramétrica

r x , θ = x , x cos ⁡ θ , x sen ⁡ θ

E entenda qual superfície ela está descrevendo. As componentes de uma equação paramétricas dão a parametrização para cada variável. Segundo as componentes de r x , θ , temos:

x = x

y = x cos ⁡ θ

z =   x sen ⁡ θ

Vamos ver o que isso significa para cada variável.

Passo 2

As equações paramétricas correspondem a:

x = x

y = x cos ⁡ θ

z =   x sen ⁡ θ

Como   x = x , nosso x é constante e nunca muda, o que nos traz a informação que nossa superfície vai estar centrada no eixo x . Então nossa superfície vai ser dada pela revolução das outras variáveis em torno de x .

Vamos tentar eliminar a variável θ e analisar somente em termos de x e y , assim a gente consegue imaginar melhor nossa superfície.

Somando y e z e elevando nossa equação ao quadrado:

y 2 + z 2 = x 2 cos 2 ⁡ θ + x 2 sen 2 ⁡ θ

Isolando x 2 :

y 2 + z 2 = x 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

Usando a identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

Ficamos com:

y 2 + z 2 = x 2

Com x = x e nenhuma restrição sobre os parâmetros, a superfície é x 2 = y 2 + z 2 , que é um cone circular cujo eixo é o eixo x .

Resposta

A superfície é x 2 = y 2 + z 2 , que é um cone circular cujo eixo é o eixo x .

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