Determine uma representação paramétrica para a superfície.

A parte do paraboloide elíptico x + y 2 + 2 z 2 = 4 que está em frente do plano x = 0

Passo 1

Fala, pessoal! De boa?

A questão pede uma representação paramétrica para:

A parte do paraboloide elíptico x + y 2 + 2 z 2 = 4 que está em frente do plano x = 0

Podemos escrever nossa superfície como uma função x = f y , z e tomar y e z como parâmetros.

Passo 2

Primeiro vamos isolar o x do paraboloide elíptico:

x = 4 - y 2 - 2 z 2

Se deixarmos y e z serem os parâmetros, as equações paramétricas são:

x = 4 - y 2 - 2 z 2               y = y             z = z

Mas, não podemos ignorar a restrição que o enunciado nos deu, que devemos pegar somente a parte do paraboloide que está em frente ao plano x = 0 . Fazendo x ≥ 0 na nossa equação:

4 - y 2 - 2 z 2 ≥ 0

Então, temos que levar em conta a restrição para x :

y 2 + 2 z 2 ≤ 4

Resposta

x = 4 - y 2 - 2 z 2               y = y             z = z

Com:

y 2 + 2 z 2 ≤ 4

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