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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.5 - Ex. 27

Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e encontre os vértices e os focos.

27. x 2 = 4 y - 2 y 2

Passo 1

Nessa questão, nos foi dada a equação de uma figura cônica, para identificarmos, encontrarmos seus vértices e focos.

Bom, a equação que ganhamos foi x 2 = 4 y - 2 y 2 , repare que ambos os termos estão elevados ao quadrado, então temos como possíveis figuras a elipse ou hipérbole.

Para encontrarmos a equação característica da elipse ou hipérbole a partir da que nos foi dada, deveremos completar o quadrado.

Passo 2

Vamos jogar todos os termos para o lado esquerdo e completar quadrado para ver o que acontece:

x 2 = 4 y - 2 y 2

x 2 + 2 y 2 - 4 y = 0

Colocando em evidência:

x 2 + 2 ( y 2 - 2 y ) = 0

Devemos gerar um produto notável, então podemos colocar 1 - 1 que não irá influenciar no resultado, mas nos dará o que precisamos:

x 2 + 2 ( y 2 - 2 y + 1 - 1 ) = 0

x 2 + 2 y - 1 2 - 2 = 0

x 2 + 2 y - 1 2 = 2

Opa! Apareceu um sinal positivo entre x e y , isso quer dizer que estamos lidando com uma elipse.

Para ficar mais parecida com a fórmula geral podemos dividir ambos os lados por 2 :

x 2 2 + y - 1 2 1 = 1

Note que como temos y - 1 , a elipse tem seu centro deslocado da origem, podemos generalizar sua equação como:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Sabemos que os focos de uma elipse podem ser encontrados por f = ( x 0 ± a 2 - b 2 , y 0 ) , então temos

f = ± 1,1

Agora os vértices de uma elipse são dados por V = ( x 0 ± a , y 0 ) , então

V = ( ± 2 , 1 )

Resposta

Elipse

V = ( ± 2 , 1 )

f = ± 1,1

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