Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 29

Eaee, tudo certinho contigo?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação:

Queremos identificar o tipo de seção cônica que estamos estudando (uma parábola, uma elipse, uma hipérbole...).

Para isso, temos que fazer algumas pequenas manipulações algébricas e comparar com a equação geral das demais seções cônicas.

Também queremos encontrar os vértices e os focos.

Vamos primeiro procurar qual é a nossa seção cônica que depois eu te mostro como a gente encontra os vértices e os focos 😉

Como temos uma das variáveis ao quadrado e a outra não, então essa equação trata-se de uma parábola.

Mas qual sua equação padrão??? Essa daqui olha:

E quem é esse ??

Bom... trata-se de um parâmetro que determina a distância focal da parábola, bem como a direção em que a parábola se abre.

Assim, para escrevermos nossa equação na forma padrão.

Para isso, vamos somar em ambos os lados:

Tirando fator comum para completarmos quadrado para :

Completando:

Passando para direita e dividindo tudo por :

Tirando fator comum novamente para o lado direito:

Agora podemos calcular o valor de :

Como tanto quanto estão sendo somados ou subtraídos de algum valor na equação da parábola, então ela está transladada tanto em quanto em .

Dessa forma, levando em consideração esses detalhes, o vértice terá as seguintes coordenadas:

E o foco, pela sua definição (ele também estará transladado, já que toda a parábola está).

Assim, fazemos:

Vértice:

Foco: