Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 50
Uma secção transversal de um refletor parabólico é mostrada na figura. A l��mpada é colocada no foco, e abertura no foco é cm.
- Ache uma equação da parábola.
- Encontre o diâmetro da abertura cm a partir do vértice.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos mostra uma figura que representa uma secção transversal de um refletor parabólico:
O enunciado ainda nos diz que a lâmpada é colocada no foco, e abertura no foco é cm.
Queremos encontrar a equação dessa parábola na letra (a).
Para isso, sabemos que a equação da parábola é dada por (se estiver com vértice voltado para direita ou esquerda) ou (se estiver com vértice voltado para cima ou para baixo).
Mas quem é esse ??
Esse parâmetro é que nos vai dizer onde está o vértice, o foco e a diretriz.
O parâmetro é a distância entre o vértice da parábola e o foco ao longo do eixo .
Se a parábola está voltada para cima ou para baixo, o foco está localizado em , e se a parábola está voltada para a esquerda ou para a direita, o foco está localizado em .
Em seguida, devemos encontrar o diâmetro da abertura cm a partir do vértice.
Para isso, devemos aplicar essa distância na equação da parábola que vamos descobrir.
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Queremos encontrar uma equação que descreva a parábola da figura, vamos definir a origem do nosso sistema cartesiano como sendo em , então está em já que é a distância do vértice ao foco.
Uma parábola com vértice na origem e eixo central no eixo tem equação
Usando o ponto , temos:
Como a concavidade da parábola está virada para o lado direito, usamos o valor positivo de
Assim, basta substituirmos na equação:
Passo 3
Queremos encontrar agora, a distância entre os pontos e
Repare que o ponto tem coordenadas e ponto tem coordenadas .
Então a distância entre esses dois pontos é simplesmente , basta substituirmos as coordenadas de um deles na equação da parábola para encontrarmos , assim:
Então a distância .