Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.5 - Ex. 37
Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas
37. Elipse, focos vértices
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... Nessa questão, nos foi dado o nome da cônica, seus focos e vértices para econtrarmos sua equação:
Elipse, focos vértices
Bom, sabemos que é uma elipse, e elipses tem equações no formato
Onde é a distância do centro da elipse até um dos vértices e é dado por:
Onde é a distância do centro da elipse ao foco.
Com isso, podemos calcular os valores de e para inserir na equação.
Analisando os vértices da elipse, podemos descobrir o ponto (que nos diz onde a elipse está centrada).
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Os pontos dos vértices dados foram . Nesse caso, temos que .
Os pontos dos focos também foram dados em , então teremos .
Também sabemos que existe uma relação entre , tal que , então trocando os valores, encontramos:
O centro da elipse fica na metade do caminho entre seus vértices, como aqui temos
nosso centro será . Portanto .
Passo 3
Com isso tudo, podemos montar nossa equação:
Substituindo os valores:
Analisando a plotagem da nossa elipse, temos:
