Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.5 - Ex. 40
Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas
40. Elipse, focos vértices
Passo 1
Nessa questão, nos foi dado o nome da cônica, seus focos e vértices para encontrarmos sua equação.
Bom, sabemos que é uma elipse, e elipses tem equações no formato:
Ou no formato:
Note que essa é uma elipse com eixo maior no eixo , podemos ver isso pelas coordenadas dos focos e vértice, que mudam apenas em .
Em que:
É a coordenada do centro.
Passo 2
O centro da elipse fica na metade do caminho entre seus vértices, aqui nós ganhamos as coordenadas de apenas um vértice, mas nem tudo está perdido, porque o centro fica também na metade do caminho entre seus focos, então podemos achar eles para encontrá-lo:
então
é a distância do centro da elipse até um dos vértices, nesse caso temos
Podemos chamar de a distância do centro da elipse ao foco, então teremos
Também sabemos que existe uma relação entre , tal que , então trocando os valores, encontramos:
Com isso tudo, podemos montar nossa equação: