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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 53

Mostre que a função definida pelo ramo superior da hipérbole y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 tem concavidade para cima.

Passo 1

Olá pessoa! Tranquilo por ai?

Para resolver está questão vamos começar com uma estratégia. Se liga!

Para mostrar se o ramo superior da hipérbole y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 tem concavidade para cima, vamos verificar a relação entre as derivadas d y d x ​ e d 2 y d x ² ​. Ao encontrar a segunda derivada d 2 y d x ² ​, analisaremos se é positiva, o que indica concavidade é para cima.

Eai? Agora podemos começar!

Passo 2

Para mostrar que o ramo superior da hipérbole tem concavidade para cima, basta mostrarmos que

d 2 y d x 2 > 0  

Então precisamos derivar a equação y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 duas vezes:

1 a 2 d ( y 2 ) d x - 1 b 2 d x 2 d x     = d 1 d x

2 y a 2 d y d x - 2 x b 2 > 0  

d y d x > a 2 b 2 x y

Passo 3

Agora vamos para a segunda derivada, para isso usaremos a regra do quociente:

d 2 y d x 2 = a 2 b 2   . y . 1 - d y d x . x y 2

d 2 y d x 2 = a 2 b 2   . y . 1 - a 2 b 2 x y . x y 2

Multiplicando em cima e embaixo por b 2 y do lado direito, ficamos com:

d 2 y d x 2 = a 2 b 2   . b 2 y 2 - a 2 x 2 b 2 y 3

Passo 4

Agora vamos dar um pause na nossa resolução rapidinho e voltar a olhar para a equação da hipérbole: y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 , vamos multiplicar ambos os lados dela por a 2 b 2 :

y 2 a 2 - x 2 b 2 a 2 b 2 = a 2 b 2

b 2 y 2 - a 2 x 2 = a 2 b 2

Opa, agora percerba que esse lado esquerdo da equação aparecia na nossa resolução também, então vamos voltar para ela e substituir pelo valor que encontramos:

d 2 y d x 2 = a 2 b 2   . a 2 b 2 b 2 y 3

d 2 y d x 2 = a 4 b 2 y 3

Como a 4 > 0   e b 2 > 0 , sabemos que d 2 y d x 2 > 0   quando y > 0 , o que nos garante que a concavidade nesse caso é voltada para cima.

Resposta

Demonstração

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