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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.4 - Ex. 8

Identifique os valores de equilíbrio. Quais são estáveis e quais são instáveis?Construa a reta de fase. Identifique os sinais de y' e y"

y ' = y 3 - y ²

Passo 1

Bem a primeira coisa a dizer é a questão completa quer também uma analise computacional. Aqui vamos nos ater apenas as soluções analíticas. Okay? Dito isso vamos em frente.

Primeira coisa que vamos analisar. Pontos de equilíbrio

Lembra que os pontos de equilíbrio são os pontos onde

d y d x = 0

Todas as nossas funções são equações diferenciais, ou seja, são funções d y d x . Então isso facilita muito a nossa vida.

y ' = y 3 - y ²

0 = y 3 - y 2

0 = y 2 y - 1  

Então nossa função tem raízes em y = 1   e y = 0

Passo 2

Vamos construir a reta de fase. Vamos criar uma reta e botar os pontos de equilíbrio.

Show. Estamos quase acabando, falta só descobrir se é nossos pontos são estáveis ou instáveis, e para isso precisamos da segunda derivada .

Passo 3

y ' = y 2 y - 1  

y ' ' = 2 y   y - 1 y ' + y 2 .   y '

Percebeu que a função y ' ta multiplicando tudo? Logo se botarmos os pontos onde y ' = 0 ,   todos os resultados nos darão ponto de sela. Então vamos usar outro método de analise.

Vamos analisar o sinal da derivada primeira na reta de fase.

y ' = y 2 y - 1  

Se seguirmos essa regra

y ' > 0   Desenha uma →

y ' < 0   Desenha uma ←

Vamos conseguir analisar direitinho a estabilidade dos pontos. Então vamos por seções. Pega a parte para y < 0 , depois 0 < y < 1 , e por fim 1 < y . Isso faz com que nossa reta fique assim :

Então vamos la. Se as setas Divergem/Apontam na mesma direção o ponto é Instável

Se as Setas Convergem para o ponto, ele é estável. Então y = 1   é instável. Já no ponto y = 0 temos as setas apontando na mesma direção, então é instável.

Acabamos por aqui , nos vemos na próxima resolução 😊

Resposta

Pontos de Equilíbrio y = 0 e y = 1

Então y = 0   é Instável

y = 1   é Instável

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