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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.1 - Ex. 37

Use o método de Euler com o passo especificado para calcular o valor da solução no ponto dado x*. Determine o valor da solução exata em x*

y ' = x y ,                 y > 0 ,               y 0 = 1  

d x = 0,1             x * = 1  

Passo 1

Essa é uma questão que vamos resolver por dois métodos. Um vai ser por Euler e o outro por Separação de variáveis tradicional das aulas de equações diferenciais.

A primeira coisa a lembrar é que Euler ao tentar resolver a equação diferencial teve a seguinte ideia genial : “ Posso não saber equação da curva da integral. Mas sei de sua derivada, e com ela posso traçar quantas retas tangentes eu quiser. Logo vou linearizar essa curva”.

Essa forma de Euler precisa de um intervalo de x, onde vamos resolvendo sucessivamente as equações de Euler.

Então essa é uma questão de resolução computacional.

Passo 2

Essa linearização pode ser expressa da seguinte forma

L x 1 =   y 0 + y ' x 0 d x

x 1 =   x 0 + d x  

Então vamos plotar nossos valores

L x 1 = y 0 +   0,1 x 0 y 0

Ou de forma geral podemos por como

L x n =   y n +   0,1 x n y n

E pronto. Nossa parte analítica acaba aqui. O resto o computador faz pela gente. Assim que fizermos um programa para calcular, com o intervalo de x entre [ 0,1 ] indo em passos de d x = 0,1 , vamos encontrar

L 1 = 1.5

Passo 3

Agora comparando com o método de separação de variáveis

y ' = x y

d y d x = x y

y d y = x d x

∫ y d y =   ∫ x d x

y 2 2 = 2 3 x 3 2 + C

Vamos plotar nossas condições de contorno y 0 = 1

1 2 = C

y 2 2 = 2 3 x 3 2 + 1 2

Vamos calcular o valor de x =     1  

y 2 2 = 2 3 1 3 2 + 1 2 → 7 6

y 2 = 7 3

y = 1.528

Percebemos que o erro do método de Euler é bem pequeno.

Resposta

y ( 1 ) = 1.528

L 1 = 1.5

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Use o método de Euler com o passo especificado para calcular o valor da solução no ponto dado x * . Determine o valor da solução exata em x * y ' = 2 x e x 2 , y 0 = 2 , d x = 0.1 , x * = 1
Use o método de Euler com o passo especificado para calcular o valor da solução no ponto dado x * . Determine o valor da solução exata em x * y ' = 2 y 2 ⋅ x - 1 , y 2 = - 1 2 , d x = 0.1 , x * = 3
Use o método de Euler com d x = 0,05 para estimar y(c), onde y é a solução para o problema de valor inicial dado. c = 4 ;d y d x =x 2 - 2 y + 1 x ,y 1 = 1
Use o método de Euler com d x = 0,05 para estimar y(c), onde y é a solução para o problema de valor inicial dado. c = 3 ;d y d x =x - 2 y x + 1 ,y 0 = 1
Use o método de Euler para resolver o problema de valor inicial no intervalo dado, começando em x 0 com d x = 0,1 . y ' = 2 - y 2 x + 3 , y - 3 = 1 ; - 3 ≤ x ≤ - 1 ;x 0 = - 3