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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.4 - Ex. 6

Identifique os valores de equilíbrio. Quais são estáveis e quais são instáveis?Construa a reta de fase. Identifique os sinais de y' e y"

y ' = y - y

Passo 1

Bem a primeira coisa a dizer é a questão completa quer também uma analise computacional. Aqui vamos nos ater apenas as soluções analíticas. Okay? Dito isso vamos em frente.

Primeira coisa que vamos analisar. Pontos de equilíbrio

Lembra que os pontos de equilíbrio são os pontos onde

d y d x = 0

Todas as nossas funções são equações diferenciais, ou seja são funções d y d x . Então isso facilita muito a nossa vida.

y ' = y - y

0 = y - y

y =     y

y 2 = y  

y     y - 1   = 0

Então nossa função tem raízes em y = 0   e y = 1

Passo 2

Vamos construir a reta de fase. Vamos criar uma reta e botar os pontos de equilíbrio.

Como nossa função tem raiz quadrada, y   só admite valores positivos. Para descobrir se é um ponto estável ou instável precisamos da segunda derivada

Passo 3

y ' = y - y

y "   =   d d x   y ' = 1 .   y ' - 1 2 y y '  

y "   =   y - y - 1 2 y   (   y - y )

y "   =   y - y   -   1 / 2   ( √ y   - 1 )   → 1 / 2   -   √ y   .   3 / 2 + y  

Então se a y "   > 0   o nosso ponto é estável. Se y "   < 0 , então nosso ponto é Instável.

y "   (   0   )   =   3 / 2   → estavel

y "   (   1   )   =   0     →   Ponto de Sela ( Instável )

Resposta

Pontos de Equilíbrio y = 0   e y = 1

y "   (   0   )   =   3 / 2   → estavel

y "   (   1   )   =   0     →   Ponto de Sela ( Instável )

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Esboce uma parte do campo de direções da equação. Em seguida, adicione ao seu desenho a curva integral que passa pelo ponto P = ( 1 , - 1 ) . Use o método de Euler com x 0 = 1 e d x = 0,2 para estimar