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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.4 - Ex. 9

As equações diferenciais autônomas nos Exercícios 9-12 representam modelos de crescimento populacional. Em cada exercício, use a análise da reta de fase para esboçar curvas integrais P ( t ) , selecionando diferentes valores iniciais P ( 0 ) . Quais equilíbrios são estáveis e quais são instáveis?

d P d t = 1 - 2 P

Passo 1

Bem a primeira coisa a dizer é a questão completa quer também uma analise computacional. Aqui vamos nos ater apenas as soluções analíticas. Okay? Dito isso vamos em frente.

Primeira coisa que vamos analisar. Pontos de equilíbrio. Lembra que os pontos de equilíbrio são os pontos onde

d y d x = 0

Todas as nossas funções são equações diferenciais, ou seja, são funções d y d x . Então isso facilita muito a nossa vida.

d P d t = 1 - 2 P

0 = 1 - 2 P

P = 1 2

Então nossa função tem raiz em P = 1 2  

Passo 2

Vamos construir a reta de fase. Vamos criar uma reta e botar os pontos de equilíbrio.

Show. Estamos quase acabando, falta só descobrir se é nosso ponto é estável ou instável, e para isso precisamos apenas Verificar o sinal da derivada.

Passo 3

Se seguirmos essa regra

P ' > 0   Desenha uma →

P ' < 0   Desenha uma ←

Vamos conseguir analisar direitinho a estabilidade dos pontos. Então vamos por seções. Pega a parte para p < 1 / 2 , depois 1 / 2 < p .

Para p < 1 / 2 . Por exemplo p = 0 , nossa derivada fica :

P ' = 1 →   P ' > 0  

Para 1 2 < p . Por exemplo p = 1 , nossa derivada fica :

P ' = - 1 →   P ' < 0  

Isso quer dizer que nossa reta de fase fica assim :

Então vamos la. Se as setas Divergem/Apontam na mesma direção o ponto é Instável. Agora, Se as Setas Convergem para o ponto, ele é estável. Então p = 1 / 2   é Estável.

Acabamos por aqui , nos vemos na próxima resolução 😊

Resposta

Pontos de Equilíbrio p = 1 / 2

Então p = 1 / 2   é Estável

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