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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 212

A igualdade t g x = a * c o t g x + b * c o t g 2 x é cálida para todo x != (k pi)/(2) . Determine a e b.

Passo 1

Aqui podemos simplesmente usar a definição de cotangente c o t g x = (1)/(t g x) e a fórmula do arco duplo da tangente t g 2 x = (2 * t g x)/(1 - t g^2 x)

Começamos invertendo as cotangentes, ficando com:

t g x = a * c o t g x + b * c o t g 2 x t g x = a * (1)/(t g x) + b * (1)/(t g 2 x)

Passo 2

Nosso passo seguinte será rescrever a última parcela usando a fórmula citada no passo anterior. Ficaremos assim: t g x = a * (1)/(t g x) + b * (1)/((2 * t g x)/(1 - t g^2 x)) = a * (1)/(t g x) + b * (1 - t g^2 x)/(2 * t g x) podemos juntar as duas frações, escrevendo: t g x = ([2 a + b * (1 - t g^2 x)])/(2 t g x)

Passando o denominador para o outro lado multiplicando, vamos ficar assim:

2 * t g^2 x = 2 a + b - b * t g^2 x

Passo 3

Agora vamos resolver essa equação por comparação, primeiro vamos escrever da seguinte forma:

2 * t g^2 x - 2 a = b - b * t g^2 x

Logo, os coeficientes da função tangente têm que ser iguais nos dois lados e os coeficientes numéricos também, disso tiramos que: 2 = - b e - 2 a = b resolvendo rapidamente, percebemos que: b = - 2 e a = 1

Resposta

b = - 2 e a = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Dê uma expressão, em função de c o t g x , equivalente a (c o s s e c x - s e n x)/(sec x - cos x) .
Dados: t g a = 2 e t g b = 1 , ache t g ( a - b ) .
Sabendo que t g 75 ° = 2 + sqrt(3) e t g 60 ° = sqrt(3) , calcule t g 15 ° .
Se 0a_n(pi)/(2) e cos a_n = (n)/(n + 1) , calcule cos (a_n)/(2)