Se 0 < a_n < pi / 2 e cos(an) = n / (n + 1) , calcule cos(an / 2)

Passo 1

Nosso problema nessa questão é descobrir cos ⁡ a n em termos de n. Para isso, utilizaremos a identidade:

cos ⁡ x 2 = ± 1 + cos ⁡ x 2

E o dado na questão:

cos ⁡ a n = n n + 1

Passo 2

Pela primeira fórmula, podemos dizer que: cos ⁡ a n 2 = ± 1 + cos ⁡ a n 2

Passo 3

Agora, basta substituir o dado da questão na fórmula, lembrando que como a n está entre 0 e π 2 o cos ⁡ a n 2   será positivo, ficando com:

cos ⁡ a n 2 = 1 + n n + 1 2 = 2 n + 1 2 n + 2

Resposta

cos ⁡ a n 2 = 2 n + 1 2 n + 2

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