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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 216

Se 0 < a_n < (pi)/(2) e cos a_n = (n)/(n + 1) , calcule cos (a_n)/(2)

Passo 1

Nosso problema nessa questão é descobrir cos a_n em termos de n. Para isso, utilizaremos a identidade:

cos (x)/(2) = +- sqrt((1 + cos x)/(2))

E o dado na questão:

cos a_n = (n)/(n + 1)

Passo 2

Pela primeira fórmula, podemos dizer que: cos (a_n)/(2) = +- sqrt((1 + cos a_n)/(2))

Passo 3

Agora, basta substituir o dado da questão na fórmula, lembrando que como a_n está entre 0 e (pi)/(2) o cos (a_n)/(2) será positivo, ficando com:

cos (a_n)/(2) = sqrt((1 + (n)/(n + 1))/(2) = sqrt((2 n + 1)/(2 n + 2)))

Resposta

cos (a_n)/(2) = sqrt((2 n + 1)/(2 n + 2))

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