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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 205

Se sec x = (4)/(3) e 0 < x < (pi)/(2) , calcule t g 3 x .

Passo 1

Nosso primeiro passo será descobrir o t g x , para substituir na fórmula do arco triplo:

t g 3 a = (3 * t g a - t g^3 a)/(1 - 3 * t g^2 a) V a m o s d e s c o b r i r o s e n x utilizando a relação:

t g x = sqrt(sec^2 x - 1) Substituindo sec x = (4)/(3) , ficaremos com: t g x = sqrt(((4)/(3))^2 - 1) = sqrt((16)/(9) - 1) t g x = sqrt((7)/(9)) = (sqrt(7))/(3)

Como nossa restrição dada para x é 0 < x < (pi)/(2) , onde a tangente é positiva, tomaremos a raiz positiva, ou seja, t g x = (sqrt(7))/(3)

Passo 2

Agora nosso problema será calcular t g 3 x , vamos substituir na fórmula:

t g 3 a = (3 * t g a - t g^3 a)/(1 - 3 * t g^2 a) t g 3 x = (3 * (sqrt(7))/(3) - ((sqrt(7))/(3))^3)/(1 - 3 * ((sqrt(7))/(3))^2) = (((20 sqrt(7))/(7))/(- 4))/(3)

t g 3 x = - (5 sqrt(7))/(9)

Resposta

t g 3 x = - (5 sqrt(7))/(9)

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