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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 197

Sabendo que t g 75 ° = 2 + sqrt(3) e t g 60 ° = sqrt(3) , calcule t g 15 ° .

Passo 1

Como o enunciado pede a t g 15 ° , verificamos que t g 15 ° = t g ( 75 ° - 60 ° ) , a partir daí vamos usar a fórmula da tangente da diferença:

t g (a - b) = (t g a - t g b)/(1 + t g a * t g b)

Passo 2

Substituindo nossos dados na fórmula ficaremos com: t g (75 ° - 60 °) = (t g 75 ° - t g 60 °)/(1 + t g 75 ° * t g 60 °) = (2 + sqrt(3) - sqrt(3))/(1 + (2 + sqrt(3)) * sqrt(3)) (2 + sqrt(3) - sqrt(3))/(1 + (2 + sqrt(3)) * sqrt(3)) = (2)/(1 + 2 sqrt(3) + 3) = (2)/(4 + 2 sqrt(3))

Racionalizando nossa fração ficaremos com: (2)/(4 + 2 sqrt(3)) * ((4 - 2 sqrt(3)))/((4 - 2 sqrt(3))) = (8 - 4 sqrt(3))/(16 - 12) = 2 - sqrt(3)

Resposta

Depois de realizada todas as contas e simplificações, ficaremos com t g 15 ° = 2 - sqrt(3)

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