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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 47

Uma imobiliária que administra um condomínio aluga cada apartamento por $ p por mês quando x apartamentos são alugados por p = 30 300 - 2 x . Se $ R ( x ) for o rendimento recebido do aluguel de x apartamentos, então R x = p x . Quantos apartamentos deverão ser alugados antes que a taxa de variação de R com relação a x (rendimento marginal) seja zero?

(Nota: como x é o número de apartamentos alugados, x é um inteiro não negativo. Para aplicar o cálculo, vamos supor que x seja um número real não-negativo arredondado para o número inteiro mais próximo.)

Passo 1

O enunciado fornece a demanda p ( x ) e define com isso o rendimento R ( x ) :

R x = p x ⋅ x = 30 x 300 - 2 x

Devemos achar o valor de x (número de apartamentos alugados) que anula a derivada de R . Para isso, basta derivar R e igualar a zero!

Passo 2

Vamos derivar R usando a regra do produto:

R ' x = 30 x ' ⋅ 300 - 2 x + 30 x ⋅ 300 - 2 x '

Assim,

R ' x = 30 300 - 2 x + 30 x ⋅ 1 2 300 - 2 x 300 - 2 x '

Portanto,

R ' x = 30 300 - 2 x - 30 x 300 - 2 x

Passo 3

Agora vamos impor a condição do enunciado R ' x = 0 :

30 300 - 2 x - 30 x 300 - 2 x = 0 ⇒ 30 300 - 2 x = 30 x 300 - 2 x

Simplificando os fatores 30 e multiplicando em cruz:

300 - 2 x = x 300 - 2 x   ⇒ 300 - 2 x = x

Assim,

3 x = 300 ⇒ x = 100

Portanto, 100 apartamentos devem ser alugados para que o rendimento marginal se anule!

Resposta

100

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