27. Esvaziamento de um tanque Depois de aberta a válvula na parte inferior de um tanque de annazenamento, são necessárias 12 horas até que ele seja esvaziado. A profundidade y do líquido no tanque, t horas depois de a válvula ter sido aberta, é dada por

a. Determine a taxa (m/h) do esvaziamento do tanque no instante .

b. Quando o nível de líquido no tanque diminuirá mais rapidamente? E mais lentamente? Quais são os valores de nesses instantes?

c. Faça um único gráfico para e e discuta o comportamento de em relação aos sinais e aos valores de .

b.

Observe que quanto menor o valor dessa taxa, maior é o esvaziamento, porque o sinal negativo significa o quanto de água está saindo.

Então o nível de líquido no tanque diminuir mais rapidamente, significa uma taxa de esvaziamento menor. Então quando

for mínimo, teremos o nível de líquido do tanque diminuindo mais rapidamente.

Para essa função ser mínima , nesse caso:

Isso quer dizer que o nível da água diminui 1 metro a cada hora.

Podemos observar que quanto mais o tempo passa, maior fica essa taxa, até que ela chegue em 0 quando :

c.

Quando desenhamos o gráfico ele fica assim:

Podemos observar que enquanto a função

decresce, isso quer dizer que a derivada dela aquele ponto é negativa. E é exatamente isso que observamos na curva

Antes que ela chegue em ela possui valores negativos.

Outra coisa que também podemos observar, é que quando a função

atinge seu valor mínimo em , ela irá ter uma derivada igual a zero, o que também podemos observar na curva

para