A impedância Z(o h m s) de um circuito em série está relacionada com a resistência R(ohms) e a reatância (o h m s) pela equação Z = raiz(R^2 + X^2) , Se R aumenta a 3 ohms/s e X diminuiu a 2 ohms / s , a que taxa Z varia quando R = 10 ohms e X = 20 ohms ?

Passo 1

Para resolver qualquer uma dessas letras, a primeira coisa que temos que fazer é derivar implicitamente a equação da superfície. A derivada implícita vai ser aquela que quando derivarmos algo que não seja t , devemo colocar a derivada junto. Por que r , h , S , a princípio, são funções do tempo.

A equação que relaciona todas elas é:

Z = R 2 + X 2

Para facilitar nossas contas, vamos elevar todos ao quadrado:

Z 2 = R 2 + X 2

A derivada do lado esquerdo vai ser:

Z 2 ' = 2 Z Z '

Passo 2

Vamos derivar o lado direito agora:

R 2 + X 2 ' = R 2 ' + X 2 ' = 2 R R ' + 2 X X '

Vamos ter no final:

2 Z Z ' = 2 R R ' + 2 X X '

Dividindo por 2

Z Z ' = R R ' + X X '

Vamos tirar aquele Z porque ele deu a função em Z , só fizemos aquele macete para ficar mais fácil de derivar. Assim, usando:

Z = R 2 + X 2

Vamos ter:

R 2 + X 2 Z ' = R R ' + X X '

Passando aquela raiz dividindo:

Z ' = R R ' + X X ' R 2 + X 2

Ele está usando uma nomenclatura diferente, vamos escrever dessa forma. Para isso, vamos ver que:

Z ' = d S d t

X ' = d X d t

R ' = d R d t

Nossa equação fica:

d Z d t = R d R d t + X d X d t R 2 + X 2

Passo 3

Vamos substituir os valores que ele deu:

X ' = d X d t = - 2

R ' = d R d t + 3

Atenção que ele diz quie X diminui e R aumenta, então temos que colocar menos e mais respectivamente.

R = 10

X = 20

d Z d t = 10 + 3 + 20 - 2 10 2 + 20 2

d Z d t = 30 - 40 10 2 + 20 2

d Z d t = - 10 100 + 400

d Z d t = - 10 500

d Z d t = - 10 10 5

d Z d t = - 1 5   o h m s / s

Resposta

d Z d t = - 1 5   o h m s / s

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