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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 64

64 – Qual é o maior valor que:

∫ a b x 2 x - x 2   d x

Pode ter quais quer a e b? Justifique sua resposta!

Passo 1

Primeiramente vamos observar os pontos de raizes da função:

Plotando o gráfico descobrimos os pontos do intervalo a = 0   e   b = 2

Passo 2

Calculando a integral:

∫ 0 2 x 2 x - x 2   d x

Utilizaremos a fórmula 124 da página 633:

∫ x 2 a x - x 2   d x = x + a 2 x - 3 a 2 a x - x 2 6 + a 3 2 s e n - 1 x - a a + C  

Primeiramente precisamos descobrir a:

2 a x = 2 x   ,   a s s i m : a = 2 x 2 x ,   a = 1

∫ 0 2 x 2 x - x 2 d x = x + 1 2 x - 3 2 x - x 2 6 + 1 2 s e n - 1 x - 1 0 2

Subsitituindo os limites de integração:

2 + 1 4 - 3 4 - 2 2 6 + 1 2 s e n - 1 2 - 1 - 0 + 1 0 - 3 0 - 0 2 6 + 1 2 s e n - 1 0 - 1

As partes negritas recebem valor zero:

0 + 1 2 s e n - 1 1 - 0 + 1 2 s e n - 1 - 1

Para: s e n - 1 1 = π 2   e   s e n - 1 - 1 =   - π 2

Substituindo:

1 2 ⋅ π 2 - - 1 2 ⋅ π 2

π 4 + π 4 = 2 π 4 = π 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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