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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 21

Encontre a integral de reta de ƒ(x, y) = yex² ao longo da curva

r(t) = 4ti – 3tj, –1 ≤ t ≤ 2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sendo x = 4 t e y = - 3 t , a função será: f ( x , y ) = y e x 2 = ( - 3 t ) e ( 4 t ) 2 = - 3 t e 16 t 2 d r → d t = 4 i → - 3 j → Logo, o módulo de d r → d t será dado por:

d r ‾ d t = 4 2 + ( - 3 ) 2 = 25 = 5

Podemos agora voltar a forma da integral dada por ∫ - 1 2   f ( x , y ) d r ‾ d t d t

Passo 2

Fazendo as substituições de f ( x , y ) e d r → d t calculados anteriormente, teremos então o resultado deste exercício em:

∫ - 1 2   ( - 3 t ) e 16 t 2 5 d t = - 15 ∫ - 1 2   t e 16 t 2 d t = - 15 32 e 16 r 2 - 1 2 = - 15 32 e 64 + 15 32 e 16 = 15 32 e 16 - e 64

Passo 3

Fazendo as substituições de f ( x , y ) e d r → d t calculados anteriormente, teremos então o resultado deste exercício em:

∫ - 1 2   ( - 3 t ) e 16 t 2 5 d t = - 15 ∫ - 1 2   t e 16 t 2 d t = - 15 32 e 16 t 2 - 1 2 = - 15 32 e 64 + 15 32 e 16 = 15 32 e 16 - e 64

Passo 4

Observação: A integral ∫ - 1 2   t e 16 t 2 d t pode ser resolvida por partes. Segue a resolução. Se considerarmos 16 t 2 = u , temos que d u = 32 t d t e poderemos escrever:

∫ - 1 2   t e 16 r 2 d t = ∫ - 1 2   1 32 e u d u = 1 32 e u t - 1 2

Resposta

Resposta nos passos.

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