Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 37

Para m e n inteiros positivos, mostre que a fórmula dada é verdadeira.

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ ( m π x ) d x = 0  

Passo 1

Essa daqui vai ser rápida, pessoal. Vamos começar fazendo a substituição x = - u na integral:

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ ( m π x ) d x

Devemos perceber que d x = - d u é uma expressão que aparece na integral e antes de trocar a variável da integral, vamos ver os limites de integração nessa nova variável u .

u = - x   →       x s = 1       →         u s = - 1 x i = - 1       →         u i = - - 1 = 1

Pronto! Agora já podemos trocar a variável.

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ ( m π x ) d x = ∫ 1 - 1 cos ⁡ n π ( - u ) sen ⁡ ( m π ( - u ) ) ( - d u )

= - ∫ 1 - 1 cos ⁡ ( - n π u ) sen ⁡ ( - m π u ) d u

Passo 2

Agora vamos lembrar que cos ⁡ ( - n π u ) = cos ⁡ ( n π u ) e sen ⁡ - m π u = - s e n ⁡ ( m π u ) . Substituíndo na integral, ficamos com:

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ ( m π x ) d x = - ∫ 1 - 1 cos ⁡ n π u - sen ⁡ m π u d u

= ∫ 1 - 1 cos ⁡ n π u sen ⁡ m π u d u = - ∫ - 1 1 cos ⁡ n π u sen ⁡ m π u d u

Acima foi usada a propriedade:

∫ a b f x d x = - ∫ b a f x d x

Passo 3

Agora devemos perceber que:

∫ - 1 1 cos ⁡ n π u sen ⁡ m π u d u = ∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ m π x d x

A letrinha que usamos não altera o valor da integral definida, ok? Então eu posso escrever o seguinte:

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ ( m π x ) d x = - ∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ m π x d x

Jogando essa expressão para o lado esquerdo, ficamos com:

2 ∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ ( m π x ) d x = 0

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x sen ⁡ ( m π x ) d x = 0 2 = 0

E está demonstrado que a fórmula é verdadeira.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Descreva as várias abordagens para calcular integrais da forma ∫ tan m ⁡ x ⋅ sec n ⁡ x d x Quais são os casos em que esses tipos de integrais se dividem? Quais são os procedimentos e as identidades us
Use a Fórmula (10) da Seção 7.2 e o método do Exercício 68 para deduzir as fórmulas de Wallis para cosseno: ∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = π 2 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 … n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 … n np a r e ≥ 2 ∫ 0 π 2 sin n ⁡ x
Use as fórmulas de Wallis do Exercício 68 para calcular a ∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ x d x b ∫ 0 π 2 sin 4 ⁡ x d x c ∫ 0 π 2 sin 5 ⁡ x d x d ∫ 0 π 2 sin 6 ⁡ x d x
Descreva as várias abordagens para calcular integrais da forma ∫ sin m ⁡ x ⋅ cos n ⁡ x d x Quais são os casos em que esses tipos de integrais se dividem? Quais são os procedimentos e as identidades us
( a ) Use a Fórmula ( 9 ) da Seção 7.2 para mostrar que ∫ 0 π 2 sin n ⁡ xd x = n - 1 n ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x d x ( n ≥ 2 ) ( b ) Use esse resultado para deduzir as fórmulas de Wallis para o seno ∫ 0 π