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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 70

Use a Fórmula (10) da Seção 7.2 e o método do Exercício 68 para deduzir as fórmulas de Wallis para cosseno:

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = π 2 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 … n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 … n n   p a r e ≥ 2

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 … n - 1 3 ⋅ 5 ⋅ 7 … n n   i m p a r e ≥ 3

Passo 1

Bom galera, primeiro pegamos a formula 10 , que é:

∫ cos n ⁡ x d x = - 1 n cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + n - 1 n ∫ cos n - 2 ⁡ x d x

E usando isso para n ≥ 2 , temos:

∫ 0 π 2 cos n ⁡ x d x = - 1 n cos n - 1 ⁡ x ⋅ sin ⁡ x 0 π 2 + n - 1 n ∫ 0 π 2 cos n - 2 ⁡ x d x

= - 1 n 0 - 0 + n - 1 n ∫ 0 π 2 cos n - 2 ⁡ x d x

E como o cos k ⁡ π 2 = 0 , logo:

= n - 1 n ∫ 0 π 2 cos n - 2 ⁡ x d x

Passo 2

Belezinha, agora para n ≥ 2 , nós temos:

∫ 0 π 2 cos n ⁡ x d x = n - 1 n ∫ 0 π 2 cos n - 2 ⁡ x d x

= n - 1 n - 3 n n - 2 ∫ 0 π 2 cos n - 2 ⁡ x d x

= 1 ⋅ 3 … n - 1 2 ⋅ 4 … n ∫ 0 π 2 d x

= π 2 ⋅ 1 ⋅ 3 … ( n - 1 ) 2 ⋅ 4 … n

Passo 3

Por fim, caso n ≥ 3 :

∫ 0 π 2 cos n ⁡ x d x = n - 1 n ∫ 0 π 2 cos n - 2 ⁡ x d x

= ( n - 1 ) ( n - 3 ) n ( n - 2 ) ∫ 0 π 2 cos n - 2 ⁡ x d x

= 2 ⋅ 4 … n - 1 1 ⋅ 3 … n ∫ 0 π 2 cos ⁡ x d x

= 2 ⋅ 4 … ( n - 1 ) 1 ⋅ 3 … n sin ⁡ x 0 π 2

= 2 ⋅ 4 … ( n - 1 ) 1 ⋅ 3 … n

Resposta

π 2 ⋅ 1 ⋅ 3 … ( n - 1 ) 2 ⋅ 4 … n

2 ⋅ 4 … ( n - 1 ) 1 ⋅ 3 … n

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