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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 68

( a ) Use a Fórmula ( 9 ) da Seção 7.2 para mostrar que

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x   d x = n - 1 n ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x d x ( n ≥ 2 )

( b ) Use esse resultado para deduzir as fórmulas de Wallis para o seno

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = π 2 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 … n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 … n n   p a r e ≥ 2

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 … n - 1 3 ⋅ 5 ⋅ 7 … n n   i m p a r e ≥ 3

Passo 1

Bom galera, vamos pegar a nossa integral, e usar a formula ( 9 ) da Seção 7.2 :

∫ sin n ⁡ x   d x = - 1 n sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 n ∫ sin n - 2 ⁡ x   d x

Usando isso para n ≥ 2 :

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x   d x = - 1 n sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x 0 π 2 + n - 1 n ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x   d x

= - 1 n 0 - 0 + n - 1 n ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x d x

= n - 1 n ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x d x

Passo 2

Belezinha, agora vamos deduzir as fórmulas para n ≥ 2 :

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = n - 1 n ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x d x

= n - 1 n - 3 n n - 2 ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x d x

= 1 ⋅ 3 … n - 1 2 ⋅ 4 … n ∫ 0 π 2 sin 0 ⁡ x d x

= 1 ⋅ 3 … n - 1 2 ⋅ 4 … n ∫ 0 π 2   d x

= π 2 ⋅ 1 ⋅ 3 … n - 1 2 ⋅ 4 … n

Passo 3

Por fim, fazemos o mesmo para n ≥ 3 :

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = n - 1 n ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x d x

= n - 1 n - 3 n n - 2 ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x d x

= 2 ⋅ 4 … n - 1 1 ⋅ 3 … n ∫ 0 π 2 sin ⁡ x d x

= 2 ⋅ 4 … n - 1 1 ⋅ 3 … n - cos ⁡ x 0 π 2

= π 2 ⋅ 2 ⋅ 4 … n - 1 1 ⋅ 3 … n

Resposta

a n - 1 n ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x d x

b π 2 ⋅ 1 ⋅ 3 … n - 1 2 ⋅ 4 … n

( c ) π 2 ⋅ 2 ⋅ 4 … n - 1 1 ⋅ 3 … n

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