A interpretação geométrica do teorema do valor médio é que para um valor adequado de c no intervalo aberto ( a ,b ) , a reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto c ,f c é paralela à secante que passa pelos pontos a ,f a e b ,f b . Ache um valor de c que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio, faça um esboço do gráfico no intervalado fechado [ a ,b ] e coloque no gráfico as retas tangente e secante. f x = x 2 ,a = 2 ,b = 4

Portanto, c = 3 satisfaz o teorema do valor médio. Esboço da função f no intervalo [ 2 ,4 ] , das retas tangente e secante a f em x = 4 :

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 18

A interpretação geométrica do teorema do valor médio é que para um valor adequado de no intervalo aberto , a reta tangente à curva no ponto é paralela à secante que passa pelos pontos e . Ache um valor de que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio, faça um esboço do gráfico no intervalado fechado e coloque no gráfico as retas tangente e secante.

Passo 1

Como é uma função polinomial, ela será contínua para todo real, em particular será continua no intervalo . Mesma justificativa garante ser derivável em . Logo, pelo teorema do valor médio, existe tal que:

Pela definição de derivada temos:

Assim:

Passo 2

Substituindo este valor de na função temos:

Temos também:

Queremos encontrar a reta que seja tangente a passando pelo ponto e que seja paralela à reta que passa por e. A reta que que passa por esses pontos terá inclinação:

Queremos encontrar a reta que passa por e tenha inclinação 6. Assim:

Resposta

Portanto, satisfaz o teorema do valor médio. Esboço da função no intervalo , das retas tangente e secante a em :

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Use o gráfico de f para estimar os valores de c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio para o intervalo [0,8].

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Seja f x = 2 - 2 x - 1 . Mostre que não existe um valor c tal que f 3 - f 0 = f ' ( c ) ( 3 - 0 ) . Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?