Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.2 - Ex. 12
Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio:
Passo 1
Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui iremos testar se a função dada satisfaz as hipóteses do TVM dentro do intervalo que nos foi dado.
A função é:
O TVM pode ser aplicado a uma função no intervalo se:
(i) 
(ii) 
é contínua em e derivável em , porque são polinômios.
O ponto em que a função poderia ser descontínua é onde o denominador fica nulo, mas esse ponto não faz parte do domínio.
Após isso, devemos encontrar os números que satisfaçam o teorema do valor médio, isso é, vamos encontrar a inclinação da reta secante dessa função entre os pontos dos extremos do intervalo, e para isso faremos:
E depois vamos encontrar os pontos que possuem reta tangente com inclinação igual a da reta secante, ou seja, vamos derivar a função e igualar a derivada ao que encontramos da reta secante:
E os pontos que encontrarmos serão os nossos pontos , bora lá?
Passo 2
Vamos encontrar a inclinação da nossa reta tangente, logo:
Substituindo os extremos do intervalo, temos:
Substituindo o valor da função:
Portanto,
Logo,
Passo 3
Agora vamos derivar a nossa função que é:
Para isso, vamos usar a regra do quociente:
Logo,
Vamos encontrar os valores tal que:
Portanto,
Tirando a raiz quadrada, sem esquecer do , temos:
No entanto, nosso intervalo está entre , dessa forma ficamos apenas com o valor
, pois a outra raiz não está contida no intervalo .
Usando uma calculadora temos:
Resposta
A função satisfaz às hipóteses do Teorema do Valor Médio e o número que satisfaz à conclusão é