Enunciado

Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio:

f x = x x + 2 ,   [ 1,4 ]

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui iremos testar se a função dada satisfaz as hipóteses do TVM dentro do intervalo que nos foi dado.

A função é:

f x = x x + 2

O TVM pode ser aplicado a uma função f x  no intervalo a , b  se:

(i)            a , b

(ii)          a , b

f é contínua em [ 1,4 ] e derivável em ( 1,4 ) , porque são polinômios.

O ponto em que a função poderia ser descontínua é onde o denominador fica nulo, mas esse ponto não faz parte do domínio.

Após isso, devemos encontrar os números c que satisfaçam o teorema do valor médio, isso é, vamos encontrar a inclinação da reta secante dessa função entre os pontos dos extremos do intervalo, e para isso faremos:

m = f x 1 - f x 2 x 1 - x 2

E depois vamos encontrar os pontos c que possuem reta tangente com inclinação igual a da reta secante, ou seja, vamos derivar a função e igualar a derivada ao m que encontramos da reta secante:

f ' x = m

E os pontos que encontrarmos serão os nossos pontos c , bora lá?

Passo 2

Vamos encontrar a inclinação da nossa reta tangente, logo:

m = f x 1 - f x 2 x 1 - x 2

Substituindo os extremos do intervalo, temos:

m = f 4 - f 1 4 - 1

Substituindo o valor da função:

m = 4 4 + 2 - 1 1 + 2 4 - 1

Portanto,

m = 2 3 - 1 3 3

Logo,

m = 1 3 3 = 1 9

Passo 3

Agora vamos derivar a nossa função que é:

f x = x x + 2

Para isso, vamos usar a regra do quociente:

f ' x = x ' x + 2 - x x + 2 ' x + 2 2

Logo,

f ' x = x + 2 - x 1 x + 2 2

f ' x = 2 x + 2 2

Vamos encontrar os valores c tal que:

f ' c = m

Portanto,

2 c + 2 2 = 1 9

18 = c + 2 2

Tirando a raiz quadrada, sem esquecer do ± , temos:

± 18 = c + 2

c = - 2 ± 3 2  

No entanto, nosso intervalo está entre ( 1,4 ) , dessa forma ficamos apenas com o valor

c = - 2 + 3 2 , pois a outra raiz não está contida no intervalo 1,4 .

Usando uma calculadora temos:

c ≈ 2.24

Resposta

A função satisfaz às hipóteses do Teorema do Valor Médio e o número c que satisfaz à conclusão é c ≈ 2.24 .

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