Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 18
Seja . Mostre que não existe um valor c tal que . Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?
Passo 1
Opa! Vamos pra mais um exercício?! Dessa vez temos a seguinte função:
Agora temos que mostrar não existe um valor c tal que . E depois temos que explicar por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio!
Bora resolver esse problema?!
Passo 2
O enunciado nos diz que não temos:
Bem, pra provar que a expressão acima não existe vamos tentar primeiro calcular ela!
Começando por Substituindo 3 e 0 na função :
Sendo assim:
Agora vamos resolver o lado direito da equação, precisamos calcular . Como o termo está dentro do módulo ele pode ser maior ou menor que zero.
Então:
Derivando:
Temos duas derivadas possíveis. No lado direito da igualdade, temos que:
Para
E para
Para qualquer valor de
Passo 3
Conseguimos provar que , mas como isso não contradiz o Teorema do Valor Médio!?
Antes de qualquer coisa vamos relembrar o que diz esse teorema:
“Sendo a função que satisfaça às seguintes condições:
- é contínua no intervalo fechado de ;
- é diferenciável no intervalo aberto de ;
Então há um número c no intervalo aberto onde . ”
Ou seja, segundo o Teorema do Valor Médio:
E temos:
O intervalo aqui é e a nossa função pode ser escrita como:
Repara que não podemos dizer que é contínua e diferençável dentro do intervalo dado?! Dessa forma como a nossa função não esta satisfazendo as condições iniciais do Teorema do Valor médio, então não estamos o contradizendo!
Resposta
Se não existite, isto não contradiria o Teorema!