Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 23a
- Mostre que um polinômio de grau tem no máximo três raízes reais.
Passo 1
Opa! Vamos pra mais uma? Na primeira parte dessa questão temos que mostrar que o um polinômio de grau tem no máximo três raízes reais.
Iremos utilizar a prova pela dedução a impossível, para provar que é impossível precisamos primeiro supor que é possível! Então vamos supor que um polinômio qualquer tem quatro raízes reais:
Logo podemos dizer que:
Vamos dizer que:
Passo 2
Se a nossa função é um polinômio ela irá obedecer ao Teorema de Rolle, que diz o seguinte
se
(i) a função for contínua num intervalo fechado
(ii) se ela for derivável no aberto
(iii) se (ela tiver os mesmos valores nos extremos do intervalo)
então deve existir um número dentro do intervalo onde a derivada se anula
uma vez que ela será contínua e diferençável, então existem três números , e de modo que:
E:
Sendo a derivada de , então ele deverá ser um polinômio de segundo grau, e o mesmo pode apenas ter 2 raízes reais. Mas terminamos de dizer que tem três raízes, o que é impossível!
Então podemos concluir que um polinômio de grau tem no máximo três raízes reais!
Resposta
Desenvolvimento acima.