Use o gráfico de f para estimar os valores de c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio para o intervalo [0,8].

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma?

O problema nos da um gráfico e pede pra a gente estimar os valores de c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio para o intervalo [0,8]:

Antes de tudo vamos ver se as condições para o Teorema do Valor Médio (TVM) são satisfeitas.

Temos que f é contínua em [0,8], pois, perceba que não temos nenhuma descontinuidade. Como assim?! Segue a curvinha do gráfico, não temos nenhum buraquinho nele, ele ta ligadinho certinho até o final do intervalo.

Temos também que f é derivável no intervalo dado, não temos nenhum “bico”, nenhuma quebra repentina onde a reta tangente a curva seria vertical.

Como f é derivável e contínua, teremos que:

f ' c = f b - f a b - a

Passo 2

Beleza, vamos então encontrar esse f ' ( c ) ?!

A malha do gráfico é de 1x1 (cada linha que a gente subir, vai ter uma unidade, e cada coluna que deslocarmos, também terá uma unidade), então vamos lá, teremos que:

f ' c = f 8 - f 0 8 - 0 = 6 - 4 8 = 2 8 = 1 4

Passo 3

Ok, agora, para quais valores de c teremos esse valor do TVM. Esse valor do TVM nada mais é que a inclinação das retas traçadas tangencialmente nos pontos de inversão do gráfico, ou seja, nos picos e vales do gráfico.

Assim, teremos um c que satisfaça f ' c = 1 4 para, aproximadamente, c = 1 ; 3 ; 4,4 ; 6 .

Resposta

Temos, c = 1 ; 3 ; 4,4 ; 6 .

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