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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 42

Ache o ponto (os pontos) de inflexão do gráfico da função definida por f x = x 1 5 e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.

Passo 1

Pela definição de derivada temos:

f ' x = 1 5 x - 4 5

E pela definição de derivadas sucessivas temos:

f ' ' x = f ' x ' ⇒

f ' ' x = 1 5 - 4 5 x - 9 5 ⇒

f ' ' x = - 4 25 x - 9 5 ⇒

f ' ' x = - 4 25 x 9 5

Observe que f ' ' não existe para x = 0 . Logo, neste ponto temos um ponto de inflexão. Como f ' ' x ≠ 0 para todo x , temos que o único ponto de inflexão de f ocorre em x = 0

Passo 2

Vamos analisar o comportamento de f ' ' nas proximidades de x = 0 :

→ Se x < 0 temos f ' ' x > 0 . Logo f é côncava para cima neste intervalo;

→ Se x > 0 temos f ' ' x < 0 . Logo f é côncava para baixo neste intervalo.

Resposta

Portanto, f x = x 1 5 é côncava para cima em ( - ∞ , 0 ) , é côncava para baixo em ( 0 ,   + ∞ ) e tem ponto de inflexão em x = 0 .

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o) f x =x ln ⁡ x
j) x 4 -2 x 3 +2 x
h) f(x) = 1- e - x
1-Estude a função com relação a concavidade e os pontos de inflexãoa)f(x) = x 3 - 3 x 2 - 9x
b) f(x) = 2 x 3 - x 2 - 4x + 1