Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 10

Seja. Mostre que , mas não existe um número em tal que . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?

Passo 1

Oiee, bora resolver mais uma comigoo??

Esse é um problema de demonstração, primeiro temos que provar que:

Para:

Mas não existe um número em tal que E porque isso não contradiz o Teorema de Rolle.

Pra primeira parte é muito simples, vamos calcular para e . Já pra segunda parte vamos derivar a função e analisa-a considerando o intervalo .

Show, mas o que isso tem a ver com Teorema de Rolle?

Precisamos lembrar o Teorema de Rolle estabelece que se uma função é contínua em um intervalo fechado derivável em e então existe pelo menos um número em tal que

Então, pra finalizar essa questão vamos analisar se a função se encaixa no Teorema de Rolle!

Passo 2

Vamos primeiro mostrar que , temos:

Calculando:

Portanto:

Passo 3

Agora precisamos mostrar que não existe um número em tal que . Vamos derivar :

Derivando:

Queremos mostrar que não podemos ter:

Mas temos que:

O cosseno fica no denominador, então para que seja igual a zero precisaríamos ter o numerador igual a zero, o que é impossível!

Passo 4

Pra acabar, precisamos entender como que a conclusão do passo 3 não contradiz o Teorema de Rolle! Lembrando que ele nos diz que:

Se uma função é contínua em um intervalo fechado derivável em e então existe pelo menos um número em tal que

A nossa função é:

Repara que não está definida em , assim podemos dizer que a função não é contínua no intervalo . Ou seja, a função não satisfaz as condições do Teorema de Rolle!

Assim, a falta de um tal que não contradiz o teorema, pois o teorema não é aplicável neste caso devido à falta de continuidade em todo o intervalo fechado.