Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 10
Seja. Mostre que , mas não existe um número em tal que . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Passo 1
Oiee, bora resolver mais uma comigoo??
Esse é um problema de demonstração, primeiro temos que provar que:
Para:
Mas não existe um número em tal que E porque isso não contradiz o Teorema de Rolle.
Pra primeira parte é muito simples, vamos calcular para e . Já pra segunda parte vamos derivar a função e analisa-a considerando o intervalo .
Show, mas o que isso tem a ver com Teorema de Rolle?
Precisamos lembrar o Teorema de Rolle estabelece que se uma função é contínua em um intervalo fechado derivável em e então existe pelo menos um número em tal que
Então, pra finalizar essa questão vamos analisar se a função se encaixa no Teorema de Rolle!
Passo 2
Vamos primeiro mostrar que , temos:
Calculando:
Portanto:
Passo 3
Agora precisamos mostrar que não existe um número em tal que . Vamos derivar :
Derivando:
Queremos mostrar que não podemos ter:
Mas temos que:
O cosseno fica no denominador, então para que seja igual a zero precisaríamos ter o numerador igual a zero, o que é impossível!
Passo 4
Pra acabar, precisamos entender como que a conclusão do passo 3 não contradiz o Teorema de Rolle! Lembrando que ele nos diz que:
Se uma função é contínua em um intervalo fechado derivável em e então existe pelo menos um número em tal que
A nossa função é:
Repara que não está definida em , assim podemos dizer que a função não é contínua no intervalo . Ou seja, a função não satisfaz as condições do Teorema de Rolle!
Assim, a falta de um tal que não contradiz o teorema, pois o teorema não é aplicável neste caso devido à falta de continuidade em todo o intervalo fechado.
Resposta
Vide o passo a passo.