Introduzindo variáveis adimensionais adequadas, o sistema de equações não lineares para o

pêndulo amortecido [Eqs. (8) da Seção 9.3] pode ser escrito na forma

(a) Mostre que a origem é um ponto crítico.

(b) Mostre que, embora V(x, y) = x² + y² seja positiva definida, (x, y) toma valores positivos e negativos em qualquer domínio contendo a origem; logo, V não é uma função de Liapunov. Sugestão: x – sen x > 0 para x > 0 e x – sen x

(c) Usando a função energia V(x, y) = (1/2)y² + (1 – cos x), mencionada no Problema 6(b), mostre que a origem é um ponto crítico estável. Como o sistema tem amortecimento, podemos esperar que a origem seja assintoticamente estável. No entanto, não é possível chegar a essa conclusão usando essa função de Liapunov.

(d) Para mostrar a estabilidade assintótica, é necessário construir uma função de Liapunov melhor do que a usada no item (c). Mostre que V(x, y) = (1/2)(x + y)² + x² + (1/2)y² é tal função de Liapunov e conclua que a origem é um ponto crítico assintoticamente estável.

Sugestão: Da fórmula de Taylor com resto, segue que sen x = x – α x³/3!, em que α depende de x, mas 0 V ˙ r c o s   θ , r s e n   θ = - r 2 1 + h r , θ , em que |h(r, θ)|

Agora, para a letra (b), nós temos que:

Então, na origem teremos:

E, como temos para qualquer par e , então é de fato definida positiva. E, podemos escrever a taxa de variação de como:

Substituindo os valores conhecidos, temos:

Então, para positivo e podendo desprezar conforme dito no enunciado, a equação se torn:

Agora, como temos que:

Para e que:

Para . Então possui tanto valores positivos quanto negativos em domínios que contenham a origem (0,0). Dessa forma, não é uma função de Liapunov.

Agora, para a letra (c), usaremos a seguinte função:

E, como vimos, ela é definida positiva. E podemos escrever sua taxa de variação como:

Substituindo os valores conhecidos, temos:

Então, teremos sempre , dessa forma, então será semi definida negativa. E o ponto crítico (0,0) será de natureza estável.

Agora, para a letra (d), tomando a função dada no enunciado, temos:

E, podemos escrever a taxa de variação de como:

Substituindo os valores conhecidos, temos:

Então, da fórmula de Taylor, o enunciado nos disse que:

Como o exercício nos disse que depende de , mas está no intervalo , com . Então, temos que:

E, agora, fazendo e , temos:

Então, agora, escrevendo a equação no formato indicado no enunciado da letra (d), temos:

Onde nós temos:

Como o enunciado nos disse que para suficientemente pequeno. será definida negativa e será definidida postiva. Dessa forma, o ponto crítico em (0,0) será assintoticamente estável.