Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.6 - Ex. 5
Considere o sistema de equações:
Em que é contínua e tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Mostre que, se em alguma vizinhança da origem, então a origem é um ponto crítico assintoticamente estável, e, se em alguma vizinhança da origem, então a origem é um ponto crítico instável.
Sugestão: Construa uma função de Liapunov da forma
Passo 1
Tá legal, vamos considerar uma função genérica de Liapunov da forma:
E, a taxa de mudança de ao longo de qualquer trajetória é:
Então, substituindo os valores conhecidos nesse caso, chegamos em:
Passo 2
Agora, analisando as equações do passo 1, sabemos que se , então será definida positiva. E, dessa forma, se tivermos positiva na vizinhança próxima a origem, então, será definida negativa, e com isso, o teorema 9.6.1 nos dá que a origem será um ponto crítico assintoticamente estável.
Passo 3
Agora, se tivermos negativa na vizinhança próxima a origem, então, ambas e serão definidas positivas. Dessa forma, pelo teorema 9.6.2 a origem será um ponto crítico instável.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)