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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 32

O inverso do teorema de Rolle não é válido. Dê um exemplo de uma função para a qual a conclusão do teorema de Rolle é verdadeira e para a qual (a) a condição (i) não está satisfeita, mas as condições (ii) e (iii) estão; (b) a condição (ii) não está satisfeita, mas as condições (i) e (iii) estão; (c) a condição (iii) não está satisfeita, mas as condições (i) e (ii) estão. Faça um esboço do gráfico mostrando a reta tangente horizontal em cada caso.

Passo 1

Vamos primeiro lembrar do teorema de Rolle. Seja f uma função, tal que:

( i ) ela seja contínua no intervalo fechado [ a , b ] ;

( i i ) ela seja derivável no intervalo aberto ( a , b ) ;

( i i i ) f a = 0 e f b = 0 .

Então existe um número c no intervalo aberto ( a , b ) , tal que f ' c = 0 .

Passo 2

  1. a condição (i) não está satisfeita, mas as condições (ii) e (iii) estão;

    2. Podemos pegar a função f x = x 2 - 1 ,         s e     - 1 ≤ x < 2 0 ,         s e     x = 2 .

    1. Perceba que a função não é contínua em [ - 1,2 ] , ela tem um ponto de descontinuidade em x = 2 (não satisfaz a hipótese).
    2. f é derivável em ( - 1,2 ) .
    3. f - 1 = 0 = f ( 2 )

    Existe x = 0 ∈ ( - 1,2 ) , tal que f ' x = 2 x   →       f ' 0 = 0 .

    Segue o esboço da reta tangente ao gráfico de f em x = 0 .

    Passo 3

  2. a condição (ii) não está satisfeita, mas as condições (i) e (iii) estão;

    3. Podemos pegar a função f x = x 2 - 1 ,         s e     - 1 ≤ x ≤ 2 5 - x ,         s e     2 < x ≤ 5 .

    1. Perceba que a função é contínua em [ - 1,5 ] .
    2. f é não é derivável em x = 2 , temos um bico (não satisfaz a hipótese).
    3. f - 1 = 0 = f ( 5 )

    Existe x = 0 ∈ ( - 1,5 ) , tal que f ' x = 2 x   →       f ' 0 = 0 .

    Segue o esboço da reta tangente ao gráfico de f em x = 0 .

    Passo 4

  3. a condição (iii) não está satisfeita, mas as condições (i) e (ii) estão.

Podemos pegar a função f x = x 2 - 1     s e     - 3 ≤ x ≤ 3 .

  1. Perceba que a função é contínua em [ - 2,2 ] .
  2. f é derivável em ( - 2,2 ) .
  3. f - 2 = 3 = f ( 2 ) (não satisfaz a hipótese).

Existe x = 0 ∈ ( - 2,2 ) , tal que f ' x = 2 x   →       f ' 0 = 0 .

Segue o esboço da reta tangente ao gráfico de f em x = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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