Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em (a, b) , tal que

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Interpretar geometricamente.

(e) f(x) = cos(x) ; a = 0, b = pi / 2 .

Passo 1

Bom, pessoal, para sabermos se o Teorema do Valor Médio se aplica, precisamos saber se a f ( x ) é contínua no intervalo dado. No intervalo [ 0 , π / 2 ] , temos que a função f x = cos ⁡ x é contínua e derivável.

Assim, vamos calcular f ' ( c ) !

f ' x = - sen ⁡ x

f ' c = - sen ⁡ c = cos ⁡ π 2 - cos ⁡ 0 π 2 - 0

Vamos substituir os valores aqui. Como a = 0 e b = π / 2 .

- sen ⁡ c = 0 - 1 π 2

- sen ⁡ c = - 2 π

c = arcsin ⁡ 2 π

Passo 2

Interpretação geométrica: a figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c , representada pela cor azul é paralela à reta secante que passa nos pontos ( a , f a ) e ( b , f b ) , representada na cor verde.

Resposta

O número c é igual a:

c = arcsin ⁡ 2 π

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