Usando o teorema do valor médio provar que:

  1. |sen theta - sen alpha| <= |theta - alpha| , AA theta , alpha in R ;
  2. sin theta <= theta , theta >= 0 .

Passo 1

Bom, pessoal, para que possamos usar o teorema do valor médio, precisamos saber se f ( x ) é uma função contínua e derivável em R . Seja f (x) = sen x - x . A função é contínua e derivável em R . Considerando-se f contínua em [0 , theta] e derivável em (0 , theta) -> EE c in ( 0 , theta ) . Assim,

f^' (c) = (f (b) - f (a))/(b - a)

cos c - 1 = (sen theta - theta)/(theta - 0)

cos c - 1 = (sen theta - theta)/(theta)

Fazendo a multiplicação cruzada, temos:

theta (cos c - 1) = sen theta - theta

Quando cos c = 0 ,

cos c - 1 < 0

theta (cos c - 1) < 0 -> sen theta - theta < 0 -> sin theta < theta

Se 0 < cos c < 1 ,

cos c - 1 < 0

theta (cos c - 1) < 0 -> sen theta - theta < 0 -> sin theta < theta

Se - 1 < cos c < 0 ,

cos c - 1 < 0

theta (cos c - 1) < 0 -> sen theta - theta < 0 -> sin theta < theta

Para theta = 0 temos sen theta = 0 . Portanto a desigualdade é satisfeita

Pronto! Conforme queremos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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