Usando o teorema do valor médio provar que:

  1. |sen(theta) - sen(alpha)| <= |theta - alpha|, ∀ theta, alpha ∈ R ;
  2. sen(theta) <= theta, theta >= 0 .

Passo 1

Bom, pessoal, para que possamos usar o teorema do valor médio, precisamos saber se f ( x ) é uma função contínua e derivável em R . Seja f x = sen ⁡ x - x . A função é contínua e derivável em R . Considerando-se f contínua em 0 , θ e derivável em 0 , θ → ∃   c ∈ ( 0 , θ ) . Assim,

f ' c = f b - f a b - a

cos ⁡ c - 1 = sen ⁡ θ - θ θ - 0

cos ⁡ c - 1 = sen ⁡ θ - θ θ

Fazendo a multiplicação cruzada, temos:

θ cos ⁡ c - 1 = sen ⁡ θ - θ

Quando cos ⁡ c = 0 ,

cos ⁡ c - 1 < 0

θ cos ⁡ c - 1 < 0 → sen ⁡ θ - θ < 0 → sin ⁡ θ < θ

Se 0 < cos ⁡ c < 1 ,

cos ⁡ c - 1 < 0

θ cos ⁡ c - 1 < 0 → sen ⁡ θ - θ < 0 → sin ⁡ θ < θ

Se - 1 < cos ⁡ c < 0 ,

cos ⁡ c - 1 < 0

θ cos ⁡ c - 1 < 0 → sen ⁡ θ - θ < 0 → sin ⁡ θ < θ

Para θ = 0 temos sen ⁡ θ = 0 . Portanto a desigualdade é satisfeita

Pronto! Conforme queremos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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