Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.6 - Ex. 3c
3. Inverter a ordem de integração:
c)
Passo 1
Pelos intervalos de integração, temos que:
Desses intervalos conseguimos obter 4 informações muito importantes:
Desenhando a região, obtemos o seguinte gráfico:
Nesse caso, temos o variando num intervalo numérico, o que denomina uma região do tipo 1. Logo, precisamos passar para uma região do tipo 2, onde meu varia em um intervalo numérico.
Passo 2
Ao observar o gráfico, notamos que não conseguimos reescrevê-lo em um único intervalo, precisaremos dividir a figura em duas. A primeira sendo um retângulo e a segunda a parte de cima, aproximando muito de um triângulo, para melhor entendimento.
Na primeira parte, temos:
Um novo intervalo numérico para , onde:
Como temos uma espécie de retângulo, teremos:
Portanto, a primeira parte será:
Passo 3
A segunda parte, vamos escrever como uma região do tipo 2, nosso não terá mais uma variação numérica. Para obter a nova variação, pegue o gráfico e imagine uma seta indo no sentido positivo do eixo , da seguinte maneira:
Assim, a seta toca primeiro em e depois na reta . Entretanto, como podemos representar isso em função de ??? Calma, podemos obtê-la da seguinte maneira,
Dessa forma, temos:
Portanto, a segunda parte é:
Passo 4
Agora basta juntar as duas integrais, obtendo: