Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 16
Em uma investigação de assassinato, a temperatura do corpo era 32,5 ºC às 13h30 e 30,3 ºC uma hora depois. A temperatura normal do corpo é 37,0 ºC, e a temperatura do ambiente era 20 ºC. Quando o assassinato aconteceu?
Passo 1
Oieee, vamos resolver esse problema passo a passo.
O problema descreve uma situação em que estamos tentando determinar o momento em que ocorreu um assassinato com base na temperatura do corpo da vítima.
São fornecidos os seguintes dados:
- A temperatura do corpo era
- Uma hora depois, às , a temperatura do corpo era
- A temperatura normal do corpo é
- A temperatura ambiente é
Portanto, nosso objetivo é determinar o momento em que a temperatura do corpo da vítima começou a diminuir, indicando o momento do assassinato.
Passo 2
Considerando a temperatura do corpo as 13h30 como e as 14h30 como .
Vamos usar a equação de resfriamento ou aquecimento de Newton para modelar a variação da temperatura do corpo com o tempo:
Onde:
- é a temperatura do corpo no tempo ,
- é a temperatura ambiente,
- é a temperatura inicial do corpo,
- é uma constante de resfriamento ou aquecimento,
- é o tempo decorrido desde o início do processo.
Para resolver este problema, precisamos determinar a constante de resfriamento .
Passo 3
Primeiramente precisamos encontrar o valor de k:
Usando a relação :
Aplicando logaritimo em ambos os lados:
Passo 4
A temperatura normal do corpo é 37 ºC, então , onde é o tempo da morte, é:
Aplicando logaritimo de ambos os lados:
O sinal negativo indica que a hora da morte ocorreu a (ou 95 min) antes de , então se ocorreu as 13h30, então o assassinato aconteceu as 11h55.
Resposta
A hora do assassinato é 11h45.