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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.1 - Ex. 39

Encontre os números críticos da função.

F (x) = x^((4)/(5)) (x - 4)^2

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão quer que encontremos os números críticos da seguinte função:

F (x) = x^((4)/(5)) (x - 4)^2

Mas o que são esses números críticos??

Bom... basicamente são onde a derivada é zero.

Então vamos calcular a derivada da função e ver para quais valores ela zera, belezinha??

Bora junto!! 😉

Passo 2

Nessa temos que usar a regra do Produto.

Essa regrinha nos diz o seguinte:

Sejam duas funções u e v deriváveis. A derivada do produto (u v)^' é dada por:

(u v)^' = u v^' + u ' v

Logo, aplicando na nossa função, temos:

F^' (x) = (x^((4)/(5)))^' (x - 4)^2 + x^((4)/(5)) (x - 4)^2^' :.

F^' (x) = (4)/(5) x^(- (1)/(5)) (x - 4)^2 + 2 x^((4)/(5)) ( x - 4 ) :.

F^' (x) = (1)/(5) x^(- (1)/(5)) (x - 4) [5 x (2) + (x - 4) (4)] :.

F^' (x) = (( x - 4 ) ( 14 x - 16 ))/(5 x^((1)/(5)))

Passo 3

Igualando a derivada a zero, temos:

(( x - 4 ) ( 14 x - 16 ))/(5 x^((1)/(5))) = 0 :.

(x - 4) (14 x - 16) = 0 :.

x - 4 = 0 -> x = 4

14 x - 16 = 0 -> 14 x = 16 -> x = (16)/(14) = (8)/(7)

Então, já temos os pontos críticos x = 4 e x = (8)/(7) .

Passo 4

Mas, além disso, temos o ponto crítico onde a derivada não existe! Olhando para a derivada:

F^' (x) = (( x - 4 ) ( 14 x - 16 ))/(5 x^((1)/(5)))

Vemos que se x = 0 , o denominador será 0 e, assim, a derivada não existirá!! Pois não tem como dividir algo por 0 , certo?

Então, no final, temos os pontos críticos em x = 0 , x = 4 e x = (8)/(7) !!

Só isso! 😊

Resposta

x = 0 , x = 4 e x = (8)/(7) .

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