Encontre os números críticos da função.

F(x) = x^(4/5) \* (x - 4)^2

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão quer que encontremos os números críticos da seguinte função:

F x = x 4 5 x - 4 2

Mas o que são esses números críticos??

Bom... basicamente são onde a derivada é zero.

Então vamos calcular a derivada da função e ver para quais valores ela zera, belezinha??

Bora junto!! 😉

Passo 2

Nessa temos que usar a regra do Produto.

Essa regrinha nos diz o seguinte:

Sejam duas funções u e v deriváveis. A derivada do produto u v ' é dada por:

u v ' = u v ' + u ' v

Logo, aplicando na nossa função, temos:

F ' x = x 4 5 ' x - 4 2 + x 4 5 x - 4 2 ' ∴

F ' x = 4 5 x - 1 5 x - 4 2 + 2 x 4 5 ( x - 4 ) ∴

F ' x = 1 5 x - 1 5 x - 4 5 x 2 + x - 4 4 ∴

F ' x =   ( x - 4 ) ( 14 x - 16 ) 5 x 1 5

Passo 3

Igualando a derivada a zero, temos:

( x - 4 ) ( 14 x - 16 ) 5 x 1 5 = 0 ∴

x - 4 14 x - 16 = 0 ∴

x - 4 = 0 → x = 4

14 x - 16 = 0 → 14 x = 16 → x = 16 14 = 8 7

Então, já temos os pontos críticos x = 4   e   x = 8 7 .

Passo 4

Mas, além disso, temos o ponto crítico onde a derivada não existe! Olhando para a derivada:

F ' x =   ( x - 4 ) ( 14 x - 16 ) 5 x 1 5

Vemos que se x = 0 , o denominador será 0 e, assim, a derivada não existirá!! Pois não tem como dividir algo por 0 , certo?

Então, no final, temos os pontos críticos em x = 0 , x = 4   e   x = 8 7 !!

Só isso! 😊

Resposta

x = 0 , x = 4   e   x = 8 7 .

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