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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 15

Calcule a integral.

∫ 3 4 x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 + 2 x 2 d x

Passo 1

A gente tem que

x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 + 2 x 2 = x 3 - 2 x 2 x 3 + 2 x 2 - 4 x 3 + 2 x 2 = x 2 x - 2 x 2 x + 2 - 4 x 2 x + 2

x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 + 2 x 2 = x - 2 x + 2   - 4 x 2 x + 2

Passo 2

Agora vamos fazer frações parciais nesse carinha aqui

4 x 2 x + 2 = A x + B x 2 + C x + 2

Multiplicando tudo por x 2 x + 2  

4 = A x x + 2 + B x + 2 + C x 2

4 = A x 2 + 2 A x + B x + 2 B + C x 2

Juntando em potências de x

0 x 2 + 0 x + 4 = A + C x 2 + 2 A + B x + 2 B

Ficamos então com o seguinte sisteminha

A + C = 0 2 A + B = 0 2 B = 4

Da terceira equação temos que B = 2 .

Se jogarmos esse valor na segunda equação achamos que A = - 1 e depois indo pra terceira vemos que C = 1 .

Então aquele carinha em frações parciais fica

4 x 2 x + 2 = - 1 x + 2 x 2 + 1 x + 2

E então a nossa expressão original fica

x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 + 2 x 2 = x - 2 x + 2   - - 1 x + 2 x 2 + 1 x + 2

Juntando os termos que têm x + 2 no denominador

x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 + 2 x 2 = x - 3 x + 2   + 1 x - 2 x 2

Passo 3

Agora temos 3 integraizinhas pra resolver kkkkk (rindo de nervoso)

∫ 3 4 x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 + 2 x 2 d x = ∫ 3 4 x - 3 x + 2   d x + ∫ 3 4 1 x d x - 2 ∫ 3 4 1 x 2 d x

Vambora, então!

A primeira vamos resolver por substituição: u = x + 2 → d u = d x e os limites de integração passam a ser u = 3 + 2 = 5 para x = 3 e u = 4 + 2 = 6 para x = 4 . É importante também notar que x = u - 2 o que faz com que o nosso numerador seja x - 3 = u - 5 . Assim

∫ 3 4 x - 3 x + 2   = ∫ 5 6 u - 5 u   d u = ∫ 5 6 1 - 5 u d u = u - 5 ln ⁡ u 5 6

∫ 3 4 x - 3 x + 2   = 6 - 5 ln ⁡ 6 - 5 - 5 ln ⁡ 5 = 1 - 5 ln ⁡ 6 - ln ⁡ 5

∫ 3 4 x - 3 x + 2   = 1 - 5 ln ⁡ 6 5

Agora vamos olhar a segunda integral! Essa aqui é mais direta 😉

∫ 3 4 1 x d x = ln ⁡ x ​ 3 4 = ln ⁡ 4 - ln ⁡ 3 = ln ⁡ 4 3

E finalmente a última! Pra essa vamos usar que ∫ x n = x n + 1 / ( n + 1 )

- 2 ∫ 3 4 1 x 2 d x = - 2 ∫ 3 4 x - 2 d x = - 2 x - 3 - 3 + 1 3 4 = - 2 x - 3 - 2 3 4

- 2 ∫ 3 4 1 x 2 d x = 1 x 3 3 4 = 1 4 3 - 1 3 3 = 1 64 - 1 27 = 27 - 64 1728

- 2 ∫ 3 4 1 x 2 d x = - 37 1728

Agora podemos juntar tudo! \o/

∫ 3 4 x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 + 2 x 2 d x = 1 - 5 ln ⁡ 6 5 + ln ⁡ 4 3 - 37 1728

Resposta

∫ 3 4 x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 + 2 x 2 d x = 1 - 5 ln ⁡ 6 5 + ln ⁡ 4 3 - 37 1728

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