Calcule a integral.

∫ 1 x + 5 2 x - 1 d x

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema temos que calcular a integral

∫ 1 x + 5 2 x - 1 d x

Tem ideia de como fazemos isso?

Para calcular essa integral simplificamos a função de integração usando frações parciais...

A gente tem que

1 x + 5 2 x - 1 = A x + 5 + B x + 5 2 + C x - 1

1 = A x + 5 x - 1 + B x - 1 + C x + 5 2

Veja só!

Passo 2

Se a gente disser que x = - 5 , teremos

1 = - 6 B

B = - 1 6

Se dissermos que x = 1 , teremos

1 = 36 C

C = 1 36

E por último, fazendo x = - 2 , teremos

1 = A 3 - 3 + B - 3 + C 3 3 = - 9 A - 3 B + 9 C

1 = - 9 A + 1 2 + 1 4

1 = - 9 A + 3 4

9 A = - 1 4

A = - 1 36

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Assim, resolvendo a integral temos

∫ 1 x + 5 2 x - 1 d x = ∫ - 1 36 x + 5 - 1 6 x + 5 2 + 1 36 x - 1 d x

Calculando a integral pelo teorema fundamental do cálculo

∫ 1 x + 5 2 x - 1 d x = - 1 36 ln ⁡ x + 5 + 1 6 x + 5 + 1 36 ln ⁡ x - 1 + C

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

- 1 36 ln ⁡ x + 5 + 1 6 x + 5 + 1 36 ln ⁡ x - 1 + C .

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