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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 19

Calcule a integral.

int (1)/((x + 5)^2 (x - 1)) d x

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema temos que calcular a integral

int (1)/((x + 5)^2 (x - 1)) d x

Tem ideia de como fazemos isso?

Para calcular essa integral simplificamos a função de integração usando frações parciais...

A gente tem que

(1)/((x + 5)^2 (x - 1)) = (A)/(x + 5) + (B)/((x + 5)^2) + (C)/(x - 1)

1 = A (x + 5) (x - 1) + B (x - 1) + C (x + 5)^2

Veja só!

Passo 2

Se a gente disser que x = - 5 , teremos

1 = - 6 B

B = - (1)/(6)

Se dissermos que x = 1 , teremos

1 = 36 C

C = (1)/(36)

E por último, fazendo x = - 2 , teremos

1 = A (3) (- 3) + B (- 3) + C (3^3) = - 9 A - 3 B + 9 C

1 = - 9 A + (1)/(2) + (1)/(4)

1 = - 9 A + (3)/(4)

9 A = - (1)/(4)

A = - (1)/(36)

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Assim, resolvendo a integral temos

int (1)/((x + 5)^2 (x - 1)) d x = int [(- (1)/(36))/(x + 5) - ((1)/(6))/((x + 5)^2) + ((1)/(36))/(x - 1)] d x

Calculando a integral pelo teorema fundamental do cálculo

int (1)/((x + 5)^2 (x - 1)) d x = - (1)/(36) ln |x + 5| + (1)/(6 (x + 5)) + (1)/(36) ln |x - 1| + C

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

- (1)/(36) ln |x + 5| + (1)/(6 (x + 5)) + (1)/(36) ln |x - 1| + C .

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