Calcule a integral.

∫ d s s 2 s - 1 2

Passo 1

Opa! Bora resolver essa integral aqui:

∫ d s s 2 s - 1 2

E para isso vamos usar frações parciais! Os fatores no denominador são lineares e se repetem, de modo que:

1 s 2 s - 1 2 = A s + B s 2 + C s - 1 + D s - 1 2

Passo 2

Agora a gente faz o mmc na parte direita:

1 s 2 s - 1 2 = A s + B s 2 + C s - 1 + D s - 1 2

1 s 2 s - 1 2 = A s s - 1 2 + B s - 1 2 + C s 2 s - 1 + D s 2 s 2 s - 1 2

Portanto:

A s 3 - 2 s 2 + s + B s 2 - 2 s + 1 + C s 3 - s 2 + D s 2

s 3 A + C + s 2 - 2 A + B - C + D + s A - 2 B + B = 1

Agora montamos um sistema linear:

A + C = 0

- 2 A + B - C + D = 0

- A - 2 B = 0

- B = 1 → B = 1

Logo:

- A - 2 1 = 0 → A = - 2

A + C = 0 → C = 2

- 2 A + B - C + D = 0 → D = - 3

Assim:

1 s 2 s - 1 2 = 2 s - 1 s 2 - 2 s - 1 - 3 s - 1 2

Passo 3

Assim, a integral fica:

∫ d s s 2 s - 1 2 = ∫ 2 s - 1 s 2 - 2 s - 1 - 3 s - 1 2 d s

Usando as primitivas:

∫ d s s 2 s - 1 2 = 2 ln ⁡ | s | + 1 s - 2 ln ⁡ s - 1 - 3 s - 1 + C

Resposta

2 ln ⁡ | s | + 1 s - 2 ln ⁡ s - 1 - 3 s - 1 + C

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