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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.4 - Ex. 22

Calcule a integral.

int (d s)/(s^2 (s - 1)^2)

Passo 1

Opa! Bora resolver essa integral aqui:

int (d s)/(s^2 (s - 1)^2)

E para isso vamos usar frações parciais! Os fatores no denominador são lineares e se repetem, de modo que:

(1)/(s^2 (s - 1)^2) = (A)/(s) + (B)/(s^2) + (C)/(s - 1) + (D)/((s - 1)^2)

Passo 2

Agora a gente faz o mmc na parte direita:

(1)/(s^2 (s - 1)^2) = (A)/(s) + (B)/(s^2) + (C)/(s - 1) + (D)/((s - 1)^2)

(1)/(s^2 (s - 1)^2) = (A s (s - 1)^2 + B (s - 1)^2 + C s^2 (s - 1) + D s^2)/(s^2 (s - 1)^2)

Portanto:

A (s^3 - 2 s^2 + s) + B (s^2 - 2 s + 1) + C (s^3 - s^2) + D s^2

s^3 (A + C) + s^2 (- 2 A + B - C + D) + s (A - 2 B) + B = 1

Agora montamos um sistema linear:

A + C = 0

- 2 A + B - C + D = 0

- A - 2 B = 0

- B = 1 -> B = 1

Logo:

- A - 2 (1) = 0 -> A = - 2

A + C = 0 -> C = 2

- 2 A + B - C + D = 0 -> D = - 3

Assim:

(1)/(s^2 (s - 1)^2) = (2)/(s) - (1)/(s^2) - (2)/(s - 1) - (3)/((s - 1)^2)

Passo 3

Assim, a integral fica:

int (d s)/(s^2 (s - 1)^2) = int ((2)/(s) - (1)/(s^2) - (2)/(s - 1) - (3)/((s - 1)^2)) d s

Usando as primitivas:

int (d s)/(s^2 (s - 1)^2) = 2 ln | s | + (1)/(s) - 2 ln |s - 1| - (3)/(s - 1) + C

Resposta

2 ln | s | + (1)/(s) - 2 ln |s - 1| - (3)/(s - 1) + C

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