Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x sen ⁡ π x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x sen ⁡ π x

Para isso, a questão quer que usemos a regra de L’Hôspital quando for apropriado.

Mas que regra é essa??

A Regra de L'Hôpital é uma técnica no cálculo diferencial que é utilizada para avaliar limites indeterminados do tipo 0 / 0 ​ ou ∞ / ∞ .

Se a gente tiver indeterminação desse tipo, temos que derivar o numerador e o denominador da função e prosseguir aplicando o limite.

E aí?? Bora aplicar?? 😉 ​

Passo 2

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x sen ⁡ π x → ln ⁡ 1 sen ⁡ π . 1 → 0 0

Temos a indeterminação da forma 0 0 , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x ' sen ⁡ π x ' = lim x → 1 ⁡ 1 x cos ⁡ π x π x ' ∴

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x ' sen ⁡ π x ' = lim x → 1 ⁡ 1 x cos ⁡ π x π x 1 - 1 ∴

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x ' sen ⁡ π x ' = lim x → 1 ⁡ 1 x π cos ⁡ π x

Substituindo o limite, temos:

lim x → 1 ⁡ 1 x π cos ⁡ π x = 1 1 π cos ⁡ π . 1 ∴

lim x → 1 ⁡ 1 x π cos ⁡ π x = 1 - π ∴

lim x → 1 ⁡ 1 x π cos ⁡ π x = - 1 π

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x sen ⁡ π x = - 1 π

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