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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 26

Calcule a integral.

int (x^2 - 2 x - 1)/((x - 1)^2 ( x^2 + 1 )) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral. Para isso, vamos recorrer às frações parciais. Como o grau do denominador é maior que o grau do numerador, podemos fazer a decomposição diretamente:

(x^2 - 2 x - 1)/((x - 1)^2 ( x^2 + 1 )) = (A)/(x - 1) + (B)/((x - 1)^2) + (C x + D)/(x^2 + 1)

Assim,

(x^2 - 2 x - 1)/((x - 1)^2 ( x^2 + 1 )) = (A (x - 1) (x^2 + 1) + B (x^2 + 1) + (C x + D) (x - 1)^2)/((x - 1)^2 ( x^2 + 1 ))

Portanto,

(A + C) x^3 + (- A + B - 2 C + D) x^2 + (A + C - 2 D) x + ( - A + B + D ) = x^2 - 2 x - 1

Devemos ter A + C = 0 => C = - A . Portanto, temos que resolver o sistema:

{[[A + B + D = 1],[- 2 D = - 2],[- A + B + D = - 1]])

Tiramos de cara que D = 1 . Além disso, A = 1 e B = C = - 1 . Assim,

(x^2 - 2 x - 1)/((x - 1)^2 ( x^2 + 1 )) = (1)/(x - 1) - (1)/((x - 1)^2) - (x)/(x^2 + 1) + (1)/(x^2 + 1)

Passo 2

Sabemos que

int (x)/(x^2 + 1) d x = (1)/(2) ln ( x^2 + 1 ) e int (1)/(x^2 + 1) d x = a r c t g x

Assim,

int (x^2 - 2 x - 1)/((x - 1)^2 ( x^2 + 1 )) d x = ln | x - 1 | + (1)/(x - 1) - (1)/(2) ln (x^2 + 1) + a r c t g x + C

Resposta

ln | x - 1 | + (1)/(x - 1) - (1)/(2) ln (x^2 + 1) + a r c t g x + C

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