Calcule a integral.

∫ x 2 - 2 x - 1 x - 1 2 ( x 2 + 1 )   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral. Para isso, vamos recorrer às frações parciais. Como o grau do denominador é maior que o grau do numerador, podemos fazer a decomposição diretamente:

x 2 - 2 x - 1 x - 1 2 ( x 2 + 1 ) = A x - 1 + B x - 1 2 + C x + D x 2 + 1

Assim,

x 2 - 2 x - 1 x - 1 2 ( x 2 + 1 ) = A x - 1 x 2 + 1 + B x 2 + 1 + C x + D x - 1 2 x - 1 2 ( x 2 + 1 )

Portanto,

A + C x 3 + - A + B - 2 C + D x 2 + A + C - 2 D x + ( - A + B + D ) = x 2 - 2 x - 1

Devemos ter A + C = 0 ⇒ C = - A . Portanto, temos que resolver o sistema:

A + B + D = 1 - 2 D = - 2 - A + B + D = - 1

Tiramos de cara que D = 1 . Além disso, A = 1 e B = C = - 1 . Assim,

x 2 - 2 x - 1 x - 1 2 ( x 2 + 1 ) = 1 x - 1 - 1 x - 1 2 - x x 2 + 1 + 1 x 2 + 1

Passo 2

Sabemos que

∫ x x 2 + 1 d x = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 )     e       ∫ 1 x 2 + 1 d x = a r c t g   x

Assim,

∫ x 2 - 2 x - 1 x - 1 2 ( x 2 + 1 )   d x = ln ⁡ | x - 1 | + 1 x - 1 - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + a r c t g   x + C

Resposta

ln ⁡ | x - 1 | + 1 x - 1 - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + a r c t g   x + C

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