Calcule a integral.

∫ x 5 - 4 x 3 + 1 x 3 - 4 x d x

Passo 1

Aqui como temos que o coeficiente de x no numerador é maior que o do denominador vamos dividir os dois:

Temos então que:

x 5 - 4 x 3 + 1 = x 3 - 4 x x 2 + 1 → x 5 - 4 x 3 + 1 x 3 - 4 x = x 3 - 4 x x 2 x 3 - 4 x + 1 x 3 - 4 x →

→ x 5 - 4 x 3 + 1 x 3 - 4 x = x 2 + 1 x 3 - 4 x

Temos então que a integral fica:

∫ x 5 - 4 x 3 + 1 x 3 - 4 x d x = ∫ x 2 + 1 x 3 - 4 x d x = ∫ x 2 d x + ∫ 1 x 3 - 4 x d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 2

Com a primeira, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Aplicando:

∫ x 2 d x = x 2 + 1 2 + 1 + C = x 3 3 + C

Passo 3

Com a segunda vamos analisar o denominador, ele pode ser decomposto em:

x 3 - 4 x = x x 2 - 4 = x x + 2 x - 2

Ele então é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

1 x 3 - 4 x = 1 x x + 2 x - 2 = A x + B x + 2 + C x - 2

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x x + 2 x - 2 :

1 = A x + 2 x - 2 + B x x - 2 + C x x + 2

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A x + 2 x - 2 + B x x - 2 + C x x + 2

1 = A x 2 - 2 x + 2 x - 4 + B x 2 - 2 B x + C x 2 + 2 C x

1 = A x 2 - 4 + B x 2 - 2 B x + C x 2 + 2 C x

1 = A x 2 - 4 A + B x 2 - 2 B x + C x 2 + 2 C x

1 = x 2 A + B + C + x - 2 B + 2 C + - 4 A

Passo 4

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B + C = 0 - 2 B + 2 C = 0 - 4 A = 1

Temos que o valor de A é:

- 4 A = 1 → A = - 1 4

Substituindo na primeira:

A + B + C = 0 → - 1 4 + B + C = 0 → B + C = 1 4

Isolando C na segunda:

- 2 B + 2 C = 0 → - 2 B = - 2 C → C = B

Substituindo C na primeira temos:

B + C = 1 4 → B + B = 1 4 → 2 B = 1 4 → B = 1 8

Temos então que C :

C = B = 1 8

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 1 x 3 - 4 x d x = ∫ - 1 4 x + 1 8 x + 2 + 1 8 x - 2 d x = ∫ - 1 4 x d x + ∫ 1 8 x + 2 d x + ∫ 1 8 x - 2 d x =

= - 1 4 ∫ 1 x d x + 1 8 ∫ 1 x + 2 d x + 1 8 ∫ 1 x - 2 d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 5

Com a primeira para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 1 4 ∫ 1 x d x = - 1 4 ln ⁡ x + C

Passo 6

Com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x + 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

1 8 ∫ 1 x + 2 d x = 1 8 ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

1 8 ∫ 1 u d u = 1 8 ln ⁡ u + C

Passo 7

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na terceira:

v = x - 2

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

1 8 ∫ 1 x - 2 d x = 1 8 ∫ 1 v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

1 8 ∫ 1 v d v = 1 8 ln ⁡ v + C

Passo 8

Agora é só juntar tudo:

∫ x 5 - 4 x 3 + 1 x 3 - 4 x d x = ∫ x 2 d x + ∫ 1 x 3 - 4 x d x =

= x 3 3 + - 1 4 ∫ 1 x d x + 1 8 ∫ 1 x + 2 d x + 1 8 ∫ 1 x - 2 d x = x 3 3 - 1 4 ln ⁡ x + 1 8 ln ⁡ u + 1 8 ln ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 5 - 4 x 3 + 1 x 3 - 4 x d x = x 3 3 - 1 4 ln ⁡ x + 1 8 ln ⁡ u + 1 8 ln ⁡ v + C =

= x 3 3 - 1 4 ln ⁡ x + 1 8 ln ⁡ x + 2 + 1 8 ln ⁡ x - 2 + C

Resposta

∫ x 5 - 4 x 3 + 1 x 3 - 4 x d x = x 3 3 - 1 4 ln ⁡ x + 1 8 ln ⁡ x + 2 + 1 8 ln ⁡ x - 2 + C

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