Ache o comprimento exato da curva.

36y^2 = (x^2 - 4)^3, 2 <= x <= 3, y >= 0

Passo 1

Faala ae, beleza?? Precisamos calcular o comprimento da curva no intervalo dado. Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de curva:

L = ∫ a b 1 + f ' ( x ) 2   d x

Em que, nossa f ( x ) é a função dada, após isolar o y :

36 y 2 = x 2 - 4 3

y 2 = x 2 - 4 3 36

Como y ≥ 0 , podemos considerar apenas os valores positivos da raiz quadrada:

y = f x = x 2 - 4 3 36 = x 2 - 4 3 / 2 6

Beleza?? Agora, vamos calcular sua derivada e jogar na fórmula que vimos

Passo 2

Show!! Então, calculando a derivada da função pela regra da cadeia:

y ' = 1 6 3 2 x 2 - 4 1 2 2 x

y ' = x 2 x 2 - 4 1 2

Jogando isso na integral do passo 1, sabendo que nosso intervalo é de 2 a 3:

L = ∫ 2 3 1 + x 2 x 2 - 4 1 2 2   d x

Vamos fazer uns cálculos:

L = ∫ 2 3 1 + x 2 4 x 2 - 4   d x

L = ∫ 2 3 1 + x 4 - 4 x 2 4   d x

Fazendo o mmc:

L = ∫ 2 3 x 4 - 4 x 2 + 4 4   d x

Opaaa, esse numerador aí é um produto notável hein, se liga: x - 2 2 = x 2 - 4 x + 4 . Então:

L = ∫ 2 3 x - 2 2 4   d x

Assim, podemos tirar esse cara da raiz:

L = ∫ 2 3 x - 2 2 d x

L = ∫ 2 3 x - 2 2 d x

L = 1 2 ∫ 2 3 x - 2   d x

Assim, só precisamos calcular essa integral:

L = 1 2 x 2 2 - 2 x 2 3

L = 1 2 3 2 2 - 2 3 - 2 2 2 - 2 2

L = 1 2 9 2 - 6 - 2 + 4

L = 1 2 9 2 - 4

L = 1 2 9 2 - 8 2 = 1 2 1 2

Dessa forma, nossa resposta será:

L = 1 4

Prontinho!!

Resposta

1 4

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