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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 10

Ache o comprimento exato da curva.

36 y^2 = (x^2 - 4)^3 2 <= x <= 3 , y >= 0

Passo 1

Faala ae, beleza?? Precisamos calcular o comprimento da curva no intervalo dado. Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de curva:

L = int_a^b sqrt(1 + (f^' ( x ))^2) d x

Em que, nossa f ( x ) é a função dada, após isolar o y :

36 y^2 = (x^2 - 4)^3

y^2 = ((x^2 - 4)^3)/(36)

Como y >= 0 , podemos considerar apenas os valores positivos da raiz quadrada:

y = f (x) = sqrt(((x^2 - 4)^3)/(36)) = ((x^2 - 4)^(3 // 2))/(6)

Beleza?? Agora, vamos calcular sua derivada e jogar na fórmula que vimos

Passo 2

Show!! Então, calculando a derivada da função pela regra da cadeia:

y^' = (1)/(6) ((3)/(2) (x^2 - 4)^((1)/(2)) (2 x))

:.

y^' = (x)/(2) (x^2 - 4)^((1)/(2))

Jogando isso na integral do passo 1, sabendo que nosso intervalo é de 2 a 3:

L = int_2^3 sqrt(1 + ((x)/(2) (x^2 - 4)^((1)/(2)))^2) d x

Vamos fazer uns cálculos:

L = int_2^3 sqrt(1 + (x^2)/(4) (x^2 - 4)) d x

L = int_2^3 sqrt(1 + (x^4 - 4 x^2)/(4)) d x

Fazendo o mmc:

L = int_2^3 sqrt((x^4 - 4 x^2 + 4)/(4)) d x

Opaaa, esse numerador aí é um produto notável hein, se liga: (x - 2)^2 = x^2 - 4 x + 4 . Então:

L = int_2^3 sqrt(((x - 2)^2)/(4)) d x

Assim, podemos tirar esse cara da raiz:

L = int_2^3 ((x - 2))/(2) d x

L = int_2^3 ((x - 2))/(2) d x

L = (1)/(2) int_2^3 x - 2 d x

Assim, só precisamos calcular essa integral:

L = (1)/(2) ((x^2)/(2) - 2 x)_2^3

L = (1)/(2) ((3^2)/(2) - 2 (3) - ((2^2)/(2) - 2 (2)))

L = (1)/(2) ((9)/(2) - 6 - 2 + 4)

L = (1)/(2) ((9)/(2) - 4)

L = (1)/(2) ((9)/(2) - (8)/(2)) = (1)/(2) ((1)/(2))

Dessa forma, nossa resposta será:

L = (1)/(4)

Prontinho!!

Resposta

(1)/(4)

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